Frage zum Sprachgebrauch in Mathe an einem Beispiel

04/04/2010 - 23:37 von Rudolf Sponsel | Report spam
I.

I1 Man betrachte ein Blatt Papier B im flachen Zustand.
I2 Man biege das Blatt B.

Welcher Sprachgebrauch ist nun beim Vergleich 1 und 2 angemessen?
Ia 1 und 2 sind dasselbe Blatt B
Ib 1 und 2 sind das gleiche Blatt B

IA Sind beide, a und b angemessen?
IB Ist a, aber nicht b angemessen?
IC Ist a nicht, aber b angemessen?
ID weder a noch b
IE hàngt ab von ...
IF so gesehen ...
IG ...


II.

II1 Man betrachte ein Blatt Papier B im flachen Zustand.
II2 Man nehme eine Kopie B' von B biege das Blatt B'.

Welcher Sprachgebrauch ist nun beim Vergleich 1 und 2 angemessen?
IIa B und B' sind dasselbe Blatt
IIb B und B' sind das gleiche Blatt B

IIA Sind beide, a und b angemessen?
IIB Ist a, aber nicht b angemessen?
IIC Ist a nicht, aber b angemessen?
IID weder a noch b
IIE hàngt ab von ...
IIF so gesehen ...
IIG ...

Erlàuterungen für die eine oder andere Wahl sind willkommen.

Rudolf Sponsel, Erlangen
 

Lesen sie die antworten

#1 ram
05/04/2010 - 00:00 | Warnen spam
Rudolf Sponsel writes:
Ia 1 und 2 sind dasselbe Blatt B
Ib 1 und 2 sind das gleiche Blatt B



Was ist der Unterschied zwischen »dasselbe« und »das gleiche«?
=
Zunàchst sei die Frage einmal kurz vorweg beantwortet:
In einem gegebenen Zusammenhang wird mit »das gleiche«
Gleichheit in bezug auf eine gröberes Begriffsverstàndnis
und mit »dasselbe« Gleichheit in bezug auf ein feineres
Begriffsverstàndnis ausgedrückt. Um welche Begriffsverstàndnisse
es sich aber jeweils handelt, muß dem Zusammenhang entnommen
werden und kann nicht allgemein festgelegt werden.
Die Unterscheidung ist weniger fachsprachlich sondern eher
umgangssprachlich, weswegen sie nicht zu ernst genommen werden
sollte.

.-
| Identitàt eines Dinges mit sich selbst

»Von /zwei/ Dingen zu sagen, sie seien identisch, ist ein
Unsinn, und von /Einem/ zu sagen, es sei identisch mit sich
selbst, sagt gar nichts.«

Ludwig Wittgenstein, Tractatus Logico-Philosophicus (5.5303)

.-
| Verschiedene Bezeichnung einer Entitàt

Wir haben aber in der Sprache das Phànomen, daß wir eine Sache
mit zwei verschiedenen Weisen bezeichnen können. Im Falle der
Venus kann man sagen:

»Der Himmelskörper "Morgenstern" ist der gleiche Planet
wie der Himmelskörper "Abendstern".«

Die verschiedenen sprachlichen Bezeichnungen können verschiedene
Wege der Erkenntnis der Sache in der Erfahrung wiederspiegeln.

Allerdings gilt natürlich auch

»Das Wort "Morgenstern" ist nicht das gleiche Wort
wie das Wort "Abendstern".«

Manche Mißverstàndnisse entstehen wenn klàrende
Gattungsbezeichnungen (wie »Himmelskörper« oder »Wort«) weggelassen
werden:

»Der Morgenstern ist der Abendstern.«

»"Morgenstern" ist nicht "Abendstern".«

Im zweiten Falle sind die Wörter gemeint und nun ruht die
ganze Last der Klarstellung dieser Absicht auf den Anführungszeichen
(use-mention-distinction).

Oder zwei unterschiedlich erklàrte (definierte) Begriffe könnten
in einem Modell dieselbe Entitàt bezeichnen, was bei der
Definition der Begriffe zunàchst nicht offensichtlich sein muß.

Man spricht hier auch manchmal von »intensionaler« und
»extensionaler« Gleichheit: Die Intension ist die Beschreibung.
Verschiedene Beschreibungen können die gleiche Sache oder die
gleiche Menge von Sachen beschreiben (also die gleiche Extension),

.-
| Gleichheit angegebener Entitàten

Viele mathematische Modelle enthalten heute ja nur noch
Mengen, und für die kann man Gleichheit stets extensional
definieren:

»x = y« bedeutet: »"e ist Element von x" hat den
Wahrheitswert von "e ist Element von y" für alle e«.

Die Bekràftigung, daß eine Menge zu sich selbst gleich ist,
ist - wie gesagt - wirklich redundant. Der Sinn der
extensionalen Gleichheitsdefinition wird erst erkennbar,
wenn man in »x« und »y« zwei (möglicherweise verschiedene)
/Beschreibungen/ von Mengen sieht. Sie sagt dann, wann zwei
Beschreibungen die gleiche Menge beschreiben.

.-
| Gleichwertigkeit unterschiedlicher Entitàten

Dann gibt es das Wort "gleich" als Kurzform von »gleichwertig«
"~". Eine Funktion induziert eine Äquivalenzrelation in ihrem
Definitionsbereich, vermittels x ~ x' :<==> f( x )=f( x' ).

(Die Wortbedeutung aus dem Abschnitt zum Morgenstern
entspricht hier dieser Funktion »f«.)

Betrachtet man beispielsweise die Abbildung, die einem Term
seinen Wert zuordnet, so ist der Term "2+2" dem Term "2*2"
zwar nicht gleich, aber gleichwertig.

Nun sagt man aber zu »gleichwertig« auch manchmal kurz
»gleich«, also »2+2 ist gleich 2*2«. Will man dann wirklich
von Gleichheit der Terme sprechen, so verwendet man
»dasselbe«. Also »"2+2" ist gleich "2*2", aber "2+2" ist nicht
dasselbe wie "2*2".«

Aber auch Terme können wieder hinsichtlich einer anderen
Äquivalenzrelation identifiziert werden, denn der Term »2+2«
ist dem Term »2 +2« gleich, obwohl die Zeichenfolgen
unterschiedlich sind.

Daher kann man, wenn man genau sprechen will, die
Unterscheidung zwischen "das gleiche" und "dasselbe" aufgeben
und statt dessen jeweils die Gattung und damit den Begriff
genau angeben, also in Reihenfolge zunehmender Feinheit:

»Der Wert "2+2" ist gleich dem Wert "2*2".«

»Der Term "2+2" ist gleich dem Term "2+ 2".«

»Die Zeichenfolge "2+2" ist gleich der Zeichenfolge "2+2".«

Aber auch die letzten beiden Zeichenfolgen kann man wiederum
als unterschiedlich ansehen, wenn man zu ihrer Identitàt
noch die Position innerhalb des Textes, an der sie sich befinden,
zàhlt (Zeichenfolgenexemplare). So ergibt sich dann eine immer
feiner Unterscheidung von Werten zu Termen, Zeichenfolgen und
schließlich Zeichenfolgenexemplaren. (Letztere kann man auch noch
weiter verfeinern: Das Wort »Haus« an einer bestimmten Stelle
einer Seite eines Buchwerkes (einer Auflage), das vorherige in
einem bestimmten Exemplar dieses Buches, und das vorherige zu
einem bestimmten Zeitpunkt.)

.-
| System und Zustand

In der Physik hat man Systeme und Zustànde und muß so beim
Vergleich sagen, ob man fragt, ob dasselbe System oder
dasselbe System und derselbe Zustand vorliegt.

Heraklit sagte:

»Niemand kann zweimal in den gleichen Fluß steigen, denn
immer andere Wasser strömen bestàndig nach.«

Kratylos soll geschrieben haben:

»Niemand kann auch nur einmal in den gleichen Fluß steigen.«

Und Wittgenstein wurde zugeschrieben:

»Der Mann, der sagte, man könne nicht zweimal in den
gleichen Fluß steigen, sagte etwas Falsches; man kann
zweimal in den gleichen Fluß steigen.«

Diese Zitate zeigen auch einmal wieder, daß auf diesem Gebiet
keine Einigkeit über die Begriffe besteht.

Tatsàchlich geht es aber darum, was man unter einem Fluß
überhaupt versteht, insbesondere wann zwei Beschreibungen von
Flüssen den gleichen Fluß beschreiben.

Einerseits versteht man unter einem Fluß das Wasser,
welches gerade in einem Flußbette ist. Andererseits wird der
Fluß auch oft als durch sein Bett identifiziert und nicht durch
die als individuell markierbar angenommenen Wasserteilchen darin.

Was genau ein Fluß ist und wodurch er genau spezifiziert wird,
ist also nicht eindeutig festgelegt. Diese Flexibilitàt ist
in der Umgangssprache gerade hilfreich, wàhrend man bei
mathematischen Begriffen Wert auf eine eindeutige (extensionale)
Definition legt.

Auch in der Informatik schàtzt man diese Flexibilitàt anscheinend
wenn man mit »Bit« mal einen Bitspeicher, mal dessen Zustand
(»0« oder »1«) und mal die in einem Bitspeicher enthaltene
Informationsmenge bezeichnet.

Je nach der Definition von »Fluß« ist es also egal, ob man
»den gleichen« oder »denselben« Fluß sagt: Man /kann/ zweimal
in den gleichen (oder »denselben«) Fluß steigen oder man
kann es nicht.

Aber auch die Identitàt eines einzelnen Systems enthàlt nicht
selbstverstàndliche Selbstidentitàt, sondern eine
interpretierende Äquivalenzrelation. Ist der ehemalige
Bundeskanzler Gerhard Schröder noch derselbe Mensch, wie der
Juso-Vorsitzende Gerhard Schröder? Wie viele Atome, die damals
seinen Körper ausmachten, sind inzwischen durch Stoffwechsel
ausgetauscht worden?

Bei Teilchen unterscheidet man innere und àußere Freiheitsgrade:
Zwei Teilchen können in allen inneren Freiheitsgraden gleich
sein und sich nur in ihrem Ort unterscheiden. Damit ist das
eine Teilchen eine exakte Kopie des anderen Teilchens an einem
anderen Ort.

Zwei Bosonen können in allen Freiheitsgraden (inneren und àußeren)
übereinstimmen. Sind zwei Bosonen, die in allen Quantenzahlen
übereinstimmen, dann dieselbe Sache? Man kann zwar sagen, daß
es zwei Teilchen sind, aber es gibt dann nichts mehr, in dem
sie sich unterscheiden.

Das altbekannte, laut Cicero schon den Stoikern bekannte, »Prinzip
des Ununterscheidbaren« (»Principium identitatis indiscernibilium«)
kann zwar oft, aber vielleicht nicht hier, angewendet werden. Es besagt
in einer Formulierung, daß zwei Dinge gleich seien, wenn alle ihre
Eigenschaften gleich sind.

.-
| »Das gleiche« und »dasselbe«

Der Unterschied zwischen »das gleiche« und »dasselbe« wird
gerne gemacht, wenn es im Kontext zwei verschiedene
Äquivalenzrelationen gibt, um dann mit »das gleiche« einen
bezug auf die gröbere und mit »dasselbe« einen Bezug auf die
feinere Äquivalenzrelation zu markieren.

Das typische Beispiel ist wohl

»Du hast dasselbe Kleid wie Deine Freundin an!«
»Nein - ich habe das gleiche Kleid wie sie an!«

Hier beizeichnet »das gleiche« für die als zweite sprechende
Person Gleichheit hinsichtlich der Äquivalenzrelation »vom
gleichen Produktionsmuster« (Schnitt, Art des Stoffes, Art des
Musters), »dasselbe« bezeichnet Identitàt einer physikalischen
Sache im Sinne ihres verfolgbaren Wegs in der Raumzeit.

Aber diese Zuordnung ist nicht zwingend, so daß eine
Verbesserung von jemandem, der »das gleiche« oder »dasselbe«
anders verwendet, als man dies selber tun würde, oft unnötig
und nicht immer zwingend ist. Schließlich kann man meist
verstehen, was gemeint ist. Auch kann der Sprecher mit einem
gewissen Recht »das gleiche« und »dasselbe« immer so
definieren, daß seine Verwendung richtig ist.

Also, man darf auf diesem Gebiete nichts für
selbstverstàndlich halten, sondern sollte die verwendeten
Begriffe und Äquivalenzrelationen möglichst explizit angeben
oder sich ihrer wenigsten bewußt sein.

Manchmal wird behaupt: »Mutter und Tochter benutzen dasselbe
Parfum« bedeute immer »es gibt nur einen Flacon, den sich
Mutter und Tochter teilen«

Das ist aber die von mir nicht geschàtzte starre
Interpretation, die ihre Subjektivitàt unbewußt, diese als
objektiv richtig vermeint.

Tatsàchlich kann man aber genauso gut den Flakon als Klasse
ansehen ("zwei Parfümtropfen sind gleich, wenn sie aus
demselben Flakon kommen") und als individuell nur den gleichen
Tropfen ansehen.

Weil es eben subjektiv ist, was man als Klasse und was als
Individuum ansieht, wie ich hoffe mit obigem Beispiel gezeigt
zu haben, sollte man es anderen zugestehen, ihre eigene
Auffassung davon zu haben. Deswegen würde ich niemanden
korrigieren, der "dasselbe" oder "das gleiche" irgendwie
verwendet, solange ich verstehen kann, was er meint.

Gleichheit von Dingen der »Realitàt« ist immer eine
Frage der Modellbildung und des genauen Typs der
Modellentitàt (etwa mag ein System in zwei verschiedenen
Zustànden trotzdem als das gleiche System angesehen werden:
Die Gleichheit gilt hier für den Entitàtstyp »System«, aber
nicht für den Entitàtstyp »Zustand«.)

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