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Frage zur Induktionsannahme

20/10/2010 - 01:13 von Nicolas v. Wedel | Report spam
Hallo zusammen,

ich habe mir mal das Prinzip der vollst. Induktion aussagenlogisch
hergeleitet, also zunàchst ueber das 4. PEANO-Axiom (Indiktionsaxiom) und im
2. Schritt ueber den Rechtfertigungssatz fuer die vollstàndige Induktion.
Hierbei - obwohl ich das Beweisverfahren schon seit Ewigkeiten gefressen habe
- komme ich aussagenlogisch zu folgender Zusammenfassung:

a) Als Behauptung steht eine Aussagenfunktion A(n)
b) Mit der natuerlichen Zahl n' wird der Wahrheitswert der Aussage A(n')
ueberprueft
c) gelingt der Nachweis, dass mit A(n) auch A(n+1) fuer jedes n>=n' gilt,
dann folgt
d) dass A(n) fuer alle n>=n' wahr ist.

Mit anderen Worten - nur um an meine Frage verstaendlicher heranzukommen:

Induktionsanfang A(n') UND (Implikation A(n) => A(n+1) fuer alle n>=n') =>
A(n) fuer alle n>=n'.

Als Induktionsannahme innerhalb der Implikation A(n) => A(n+1) fuer alle
n>=n' wird A(n) als wahr gesetzt, also: "Es gelte A(n) fuer n>=n'.

Jetzt zur Frage:

Bisher habe ich mit Bezug auf die Induktionsannahme immer nonchalant
argumentiert, etwa: Nur aus etwas Wahrem folgt einzig Wahres, sozusagen
begruendend fuer die Induktionsannahme . Wenn aber nun die Induktionsannahme
falsch ist (selbstredend damit auch die zu beweisende Behauptung), kann aus
etwas Falschen alles folgen, eben auch A(n+1) - die Implikation waere wahr.
Wenn jetzt noch der Fall eintritt, dass der Induktionsanfang fuer ein
bestimmtes n' geglueckt ist, ist die ganze Konjunktion (Ind.-Anfang UND
Implikation) wahr, woraus folgt, dass auch A(n) wahr ist - was aber nicht
sein kann!

Wo ist mein Denkfehler? Kann es sein, dass das Setzen einer falschen
Induktionsannahme, also A(n) fuer n>=n' sei NICHT wahr, niemals zu A(n+1)
fuehren kann?

Fuer kurze Danekanstoesse Dank im vorab!

Gruss Nico
 

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#1 Karlheinz
20/10/2010 - 01:37 | Warnen spam
Nicolas v. Wedel schrieb:

Bisher habe ich mit Bezug auf die Induktionsannahme immer nonchalant
argumentiert, etwa: Nur aus etwas Wahrem folgt einzig Wahres, sozusagen
begruendend fuer die Induktionsannahme



A, B, oder sonst was sind isoliert wie (A) oder (B) oder (sonstwas)
in Bezug (siehe Gödel) auf Annahmen und Beweise A:(A) oder B:(B) usw.

Wir nehmen in unserer Mathematik eben den Fortschritt der Induktion an
aber nicht den Gegenstand der Induktion. Z.B. kann man induzieren, dass
(i): (a != a)
für alle a: a + 1

aber das sagt nichts über den Wahrheitswert von (i), der gerade in Mode
ist oder nicht, denn Mathe ist UNABHÄNGIG per se...

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