Frage zur "Normalität" von Zahlen...

13/02/2014 - 17:44 von M. H. | Report spam
Hallo.
Wir haben heute eine (Laien!)-Diskussion über die Normalitàt von Pi
geführt. Dabei stehen zwei Meinungen im Raum:
Ich habe z.B. diesen kurzen Hinweis genannt:

"Unter "normal" verstehen die Mathematiker in diesem Zusammenhang die
Eigenschaft, dass jegliche erdenkliche Zahlenkombination irgendwo in der
Dezimaldarstellung der Zahl vorkommt. Interpretiert man dann etwa zwei
aufeinanderfolgend Ziffern als ASCII-Darstellung von Zeichen, dann
steckt bei einem normalen Pi irgendwo jeder beliebige Text schon drin.
Ja: "alle c't-Ausgaben, die Bibel und alles, was je geschrieben wurde
und geschrieben werden wird [...] ist alles schon in Pi enthalten."
Dummerweise weiß man allerdings meist nicht, wo ..."

Mein Kollege hàlt dagegen:
Mathematisch gesehen geht es um die Frage, ob Pi eine normale Zahl ist
oder nicht. Pi wàre laut Definition dann normal, wenn beispielsweise die
Ziffer 3 ein Zehntel aller Ziffern von Pi stellt. Gleiches müsste für
alle übrigen Ziffern wie 1, 5 oder 7 gelten.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ich eine ziemlich lange Ziffernfolge finde,
in der ein sinnvoller Text kodiert ist, geht gegen null. Es kàmpft also
unendlich gegen null und ich glaube, null gewinnt

Wer hat Recht? Findet man also jeden beliebigen Text (auch jeden
beliebig langen!) in normalen Zahlen oder nicht?

Michael
 

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#1 Jan Fricke
13/02/2014 - 20:44 | Warnen spam
On 02/13/2014 05:44 PM, M. H. wrote:
Hallo.
Wir haben heute eine (Laien!)-Diskussion über die Normalitàt von Pi
geführt. Dabei stehen zwei Meinungen im Raum:
Ich habe z.B. diesen kurzen Hinweis genannt:

"Unter "normal" verstehen die Mathematiker in diesem Zusammenhang die
Eigenschaft, dass jegliche erdenkliche Zahlenkombination irgendwo in der
Dezimaldarstellung der Zahl vorkommt. Interpretiert man dann etwa zwei
aufeinanderfolgend Ziffern als ASCII-Darstellung von Zeichen, dann
steckt bei einem normalen Pi irgendwo jeder beliebige Text schon drin.
Ja: "alle c't-Ausgaben, die Bibel und alles, was je geschrieben wurde
und geschrieben werden wird [...] ist alles schon in Pi enthalten."
Dummerweise weiß man allerdings meist nicht, wo ..."

Mein Kollege hàlt dagegen:
Mathematisch gesehen geht es um die Frage, ob Pi eine normale Zahl ist
oder nicht. Pi wàre laut Definition dann normal, wenn beispielsweise die
Ziffer 3 ein Zehntel aller Ziffern von Pi stellt. Gleiches müsste für
alle übrigen Ziffern wie 1, 5 oder 7 gelten.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ich eine ziemlich lange Ziffernfolge finde,
in der ein sinnvoller Text kodiert ist, geht gegen null. Es kàmpft also
unendlich gegen null und ich glaube, null gewinnt

Wer hat Recht? Findet man also jeden beliebigen Text (auch jeden
beliebig langen!) in normalen Zahlen oder nicht?



Beides ist falsch. Und man findet jeden beliebig langen (endlichen!) Text.

Eine Zahl heißt normal zur Basis b, wenn in der b-adischen Darstellung
jedes Wort der Lànge k mit der gleichen Hàufigkeit (also 1/b^k) vorkommt.

Der Fehler an Deiner Darstellung ist, dass "jegliche erdenkliche
Zahlenkombination irgendwo in der Dezimaldarstellung der Zahl vorkommt"
eine sehr viel schwàchere Aussage als die Gleichhàufigkeit ist.

An der Darstellung Deines Kollegen fehlt, dass es nicht nur für einzelne
Ziffern, sondern für beliebige Worte gilt. Die Wahrscheinlichkeit für
lange Texte wird also beliebig klein, ist aber immer positiv.



Viele Grüße Jan

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