Frage zur vollständigen Induktion

10/10/2008 - 16:07 von Andreas Schmitt | Report spam
Hallo Newsgroup,

ich habe eine Frage zu einer Aufgabe die zu lösen wàre.


Eine Menge M von reellen Zahlen wird wie folgt induktiv definiert

(IA) x€0
(IS) ist x € M so ist auch x+2*sqrt(x)+1 € M.

Geben sie die Menge M explizit an. Beweisen Sie durch Induktion die
Richtigkeit Ihrer Behauptung.
-

Ich habe das ganze dann für 0 ausgerechnet, da 0 ja auch Element von M
ist. Ergebnis: 1

Es làsst ja darauf schließen, dass das ganze nun auch für x+1 zu gelten
hat. Also

(x+1)+2*sqrt(x+1)+1 € M.

Und genau da ist mein Problem, da ich jetzt nicht genau weiss wie jetzt
weiter vorzugehen habe.
Vielleicht weiss ja jemand von euch weiter.

Viele Grüße
Andreas
 

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#1 Martin Fuchs
10/10/2008 - 16:56 | Warnen spam
Andreas Schmitt wrote:
ich habe eine Frage zu einer Aufgabe die zu lösen wàre.



Hausaufgabe?


Eine Menge M von reellen Zahlen wird wie folgt induktiv definiert
(IA) x€0
(IS) ist x € M so ist auch x+2*sqrt(x)+1 € M.



Ich vermute, du meinst 0 \in M.


Ich habe das ganze dann für 0 ausgerechnet, da 0 ja auch Element von M
ist. Ergebnis: 1



Weiterrechnen. Aus zwei Elementen wirst du vermutlich keine Gesetzmàßigkeit
erkennen. Hier solltest du es aber spàtestens beim vierten Element von M
erkennen.


Es làsst ja darauf schließen, dass das ganze nun auch für x+1 zu gelten
hat. Also (x+1)+2*sqrt(x+1)+1 € M.



Was ist jetzt x? Ein Element aus M? Dann gilt dies natürlich, da M ja gerade so
definiert ist.
Das ist aber nicht der Punkt.
Du sollst selbst eine "geschlossene Form" für M erkennen und nachweisen,
dass die derart hingeschriebene Menge àquivalent zur obigen Definition
ist.

Ist hier nicht gerade schwer. Rechne zuerst mal ein bißchen weiter,
damit du eine Gesetzmàßigkeit für M erkennst.

mf

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