Fragen zu Abzählbarkeit

26/04/2008 - 19:55 von Whatever5k | Report spam
Es sei definiert:

M = {n e IN | 2|n}, die geraden Zahlen
O = IN \ M, die ungeraden Zahlen
P = P(IN), die Potenmenge der natürlichen Zahlen
Q = P(M)
R = P(O)

Jetzt soll ich eine Bijektion aufbauen von P -> Q x R
Ich habe definiert:

für S e P ist f(S) = ({x e S | x gerade), {x e S | x ungerade)}

Ist das so ok?
Dann gehts weiter, man soll anschließend zeigen, dass es eine nicht-
abzàhlbare Menge P gibt mit einer Bijektion P -> P x P. Wie gehe ich
hier vor? Offensichtlich beruht das auf der vorherigen Aufgabe. Aber
ich kann meine Funktion f so ohne weiteres nicht übernehmen, da sie
nicht surjektiv ist (für P x P).
 

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#1 fiesh
26/04/2008 - 20:15 | Warnen spam
On 2008-04-26, wrote:
Es sei definiert:

M = {n e IN | 2|n}, die geraden Zahlen
O = IN \ M, die ungeraden Zahlen
P = P(IN), die Potenmenge der natürlichen Zahlen
Q = P(M)
R = P(O)

Jetzt soll ich eine Bijektion aufbauen von P -> Q x R
Ich habe definiert:

für S e P ist f(S) = ({x e S | x gerade), {x e S | x ungerade)}

Ist das so ok?



Abgesehen von den Klammern, ja.

Dann gehts weiter, man soll anschließend zeigen, dass es eine nicht-
abzàhlbare Menge P gibt mit einer Bijektion P -> P x P. Wie gehe ich
hier vor? Offensichtlich beruht das auf der vorherigen Aufgabe. Aber
ich kann meine Funktion f so ohne weiteres nicht übernehmen, da sie
nicht surjektiv ist (für P x P).



Fuer jede unendliche Menge M gibt es sogar eine Bijektion von M nach
M x M. (Was in ZF aequivalent zum Auswahlaxiom ist.)

Der Ansatz ist ja schon nicht schlecht, aber wie du sagst hast du eine
Bijektion von P auf Q x R, nicht auf P x P. Also solltest du dir
Bijektionen von Q auf P bzw. von R auf P ueberlegen, und dir dann
ueberlegen, wie diese dir helfen, die Aufgabe zu loesen.

Gruesse,
fiesh

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