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Fragen zu unendlichen Potenzen.

25/09/2008 - 18:49 von Sternemann | Report spam
Das Cogito-Preisràtsel von Heinrich Hemmse in Bild der Wissenschaft 10/2008
S 104 lautet:
Für welche Zahl x ist x^x^x^x^x. = 2?
Ich finde die Aufgabe schön
Die Lösung ist: x = Wurzel(2)

Ich habe Zusatzknobelaufgaben:
Warum geht nicht auch x = 4??
Was ist das größte Ergebnis, was man bei x^x^x^x^x. rauskriegen kann?
Was ist die größte Zahl x mit der man bei x^x^x^x^x. was rauskriegt?

Sind die Aufgaben schwer?
Herr Hemmes behauptet, in alten Ausgaben vom American Monthley stànden diese
Fragen schon?
Kennt´jemand von Euch diese Aufgaben oder Literatur dazu? (Vielleicht von
klassischen Mathematikern?)

Mit matematischem Gruß!
Wilhelm Sternemann
 

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#1 Brian M. Scott
25/09/2008 - 20:34 | Warnen spam
On Thu, 25 Sep 2008 18:49:29 +0200, Sternemann
wrote in
<news:gbgf61$2jh$ in de.sci.mathematik:

Das Cogito-Preisràtsel von Heinrich Hemmse in Bild der Wissenschaft 10/2008
S 104 lautet:
Für welche Zahl x ist x^x^x^x^x. = 2?
Ich finde die Aufgabe schön
Die Lösung ist: x = Wurzel(2)

Ich habe Zusatzknobelaufgaben:
Warum geht nicht auch x = 4??



Sei y = x^x^x^x^...; dann gilt y = x^y, und es folgt daher
ln(y) = y ln(x), ln(x) = ln(y)/y, und schliesslich x y^(1/y). Für y = 2 muss also x = sqrt(2) sein. Dann zeigt
man, dass für x = sqrt(2) die Folge x, x^x, x^x^x, ...
monoton steigend und nach oben beschrànkt ist (also
konvergent), was nicht sehr schwierig ist.

[...]

Brian

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