Fragen zur SRT

09/03/2008 - 15:59 von Uli Kolberg | Report spam
Hallo zusammen,

ich bin gerade dabei, die Grundlagen der speziellen Relativitàtstheorie
zu studieren. Zur Zeit bin ich beim Übergang von der bereits
hergeleiteten Lorentz-Transformation hin zur Konstruktion des
Minkowski-Raumes mit seiner speziellen Geometrie. Dabei war mir lange
nicht klar, was ko- und kontravariante Komponenten unterscheidet (ausser
der Indexstellung...) und warum diese Unterscheidung notwendig ist. Ich
bitte mal um Kritik, ob ich mir das folgende richtig überlegt habe:

1.
Die darstellende Matrix A einer Lorentz-Transformation ist nicht
orthogonal, weil A^{-1} nicht mit A^t übereinstimmt (statt dessen
tauchen beim Invertieren Minus-Zeichen auf). Daraus folgt, dass
wenigstens eines der beteiligten Bezugssysteme aus einer
Nicht-Orthonormalbasis konstituiert wird. (Denn der Basiswechsel
zwischen Orthonormalbasen wird stets durch eine Orthonormalmatrix geregelt.)

2.
Man kann einem Vektor auf zwei Arten Komponenten zuordnen: Einmal über
die Darstellung als Linearkombination einer Basis, \vec{v}=v^i\vec{e}_i,
und einmal durch Projektion auf die Basisvektoren,
v_i=\vec{v}\cdot\vec{e}_i. Diese beiden Arten von Komponenten stimmen
genau dann überein, wenn die zugrunde liegende Basis eine
Orthonormalbasis ist. Da diese Bedingung nach Punkt 1 in der speziellen
Relativitàtstheorie nicht erfüllt ist, muss ich dort also zwischen
diesen beiden Arten von Vektorkomponenten unterscheiden. Und das
unabhàngig davon, wie ich Metrik und Skalarprodukt definiere. Eine
Untersuchung des Transformationsverhaltens dieser Komponenten bei einem
Basiswechsel zeigt dann, dass die eine Komponenenart kontra-, die andere
kovariant ist.

3.
Wie definiere ich die Lànge eines Vektors im Minkowski-Raum? Die
vier-dimensionale Verallgemeinerung des Standardbetrages aus dem R^3 ist
nicht lorentzinvariant, zeigt also nicht das gewünschte Verhalten eines
Skalars. Statt dessen wàhlt man die Invariante
(x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2 als Làngenquadrat. Durch
Koeffizientenvergleich mit
\vec{a}\cdot\vec{a}=a^ia^jg_{ij} kann man daraus auf die zugehörige
Metrik (g_{ij}) schließen. Diese Definition impliziert wegen
g_{ij}=\vec{e}_i\cdot\vec{e}_jeq\delta_{ij} zwar, dass keine
Orthonormalbasis mehr vorliegt; jedoch ist das kein Mangel an dieser
Definition, weil das nach Punkt 1 sowie so schon aus der
Lorentz-Transformation folgt.

Erst mal so weit, ist ja schon lang genug geworden.

Danke und Gruß
Uli
 

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#1 Roland Franzius
09/03/2008 - 19:36 | Warnen spam
Uli Kolberg schrieb:
Hallo zusammen,

ich bin gerade dabei, die Grundlagen der speziellen Relativitàtstheorie
zu studieren. Zur Zeit bin ich beim Übergang von der bereits
hergeleiteten Lorentz-Transformation hin zur Konstruktion des
Minkowski-Raumes mit seiner speziellen Geometrie. Dabei war mir lange
nicht klar, was ko- und kontravariante Komponenten unterscheidet (ausser
der Indexstellung...) und warum diese Unterscheidung notwendig ist. Ich
bitte mal um Kritik, ob ich mir das folgende richtig überlegt habe:

1.
Die darstellende Matrix A einer Lorentz-Transformation ist nicht
orthogonal, weil A^{-1} nicht mit A^t übereinstimmt (statt dessen
tauchen beim Invertieren Minus-Zeichen auf). Daraus folgt, dass
wenigstens eines der beteiligten Bezugssysteme aus einer
Nicht-Orthonormalbasis konstituiert wird. (Denn der Basiswechsel
zwischen Orthonormalbasen wird stets durch eine Orthonormalmatrix
geregelt.)



Die Lorentztransformation ist natürlich "orthogonal" für das
Minkowski-Skalarprodukt

<x,y>_Minkowski = x^+ G y mit G= diag(1,-1,-1,-1)

(L x)^t G L y = x^t (L^t G L) y mit L^t G L = G

{L} ist gerade die Invarianzgruppe der Transformationen von G


2.
Man kann einem Vektor auf zwei Arten Komponenten zuordnen: Einmal über
die Darstellung als Linearkombination einer Basis, \vec{v}=v^i\vec{e}_i,
und einmal durch Projektion auf die Basisvektoren,
v_i=\vec{v}\cdot\vec{e}_i. Diese beiden Arten von Komponenten stimmen
genau dann überein, wenn die zugrunde liegende Basis eine
Orthonormalbasis ist. Da diese Bedingung nach Punkt 1 in der speziellen
Relativitàtstheorie nicht erfüllt ist, muss ich dort also zwischen
diesen beiden Arten von Vektorkomponenten unterscheiden. Und das
unabhàngig davon, wie ich Metrik und Skalarprodukt definiere. Eine
Untersuchung des Transformationsverhaltens dieser Komponenten bei einem
Basiswechsel zeigt dann, dass die eine Komponenenart kontra-, die andere
kovariant ist.




Wegen L_x(y) = x^t G y kann man jedem Vektor x kanonisch eine lineare
Abbildung zuordnen. Vektoren in Raum und Dualraum erscheinen in der
Physik als verschiedene darstellungen deselben Objekts.

v = v^k e_k der Vektor v
v* = v^k G_km d^m die Linearform G(v, . ) wobei d^m = G(. , e_m)
die duale Basis im Dualraum ist.

Die Komponenten von Tangentialvektoren, zB Geschwindigkeiten, dx^k/dt
nennt man kontravariant.

Die Komponenten der Linearformen, zB Impulse p_k = dLangrange/dv^k
nennt man kovariant, weil sie unter Basiswechsel wie partielle
Ableitungen transformieren.


3.
Wie definiere ich die Lànge eines Vektors im Minkowski-Raum? Die
vier-dimensionale Verallgemeinerung des Standardbetrages aus dem R^3 ist
nicht lorentzinvariant, zeigt also nicht das gewünschte Verhalten eines
Skalars. Statt dessen wàhlt man die Invariante
(x^0)^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2 als Làngenquadrat. Durch
Koeffizientenvergleich mit
\vec{a}\cdot\vec{a}=a^ia^jg_{ij} kann man daraus auf die zugehörige
Metrik (g_{ij}) schließen. Diese Definition impliziert wegen
g_{ij}=\vec{e}_i\cdot\vec{e}_jeq\delta_{ij} zwar, dass keine
Orthonormalbasis mehr vorliegt; jedoch ist das kein Mangel an dieser
Definition, weil das nach Punkt 1 sowie so schon aus der
Lorentz-Transformation folgt.



Die Metrik im Minkowskiraum definiert keine invarianten Làngen von
Vektoren im topologischen Sinn. Es gibt drei Klassen von Vektoren,
solche mit positivem Minkowski-Quadrat, Nullvektoren und die mit
negativem Quadrat. Die Physik nennt die positiven zeitartig und
interpretiert ihre Wurzel einen Lorentz-invarianten Zeitabstand. Die
Nullvektoren heißen lichtartig, sie bilden den trennenden Lichtkegel
zwiche den zeitartigen udn den raumartigen Vektoren. Die rau,artigen
sind die mit negativem Quadrat. Der Wurzel aus ihrem Betrag schreibt man
eine invariante ràumliche Entfernung zu, die Ereignisse an raumartig
getrennten Punkten sind physikalisch kausal unabhàngig.

Zum Aufbau der Analysis und der Theorie der Lösung von Gleichungen
benutzt man natürlich nebenher immer ein rein mathematisch-euklidisches
Bild zum Rechnen, da die indefinite Metrik den gesamten Lichtkegel als
Urbild der 0 besitzt und somit nur begrenzt Vektoren auf Gleichheit
testen kann.


Roland Franzius

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