Fünfeck im Klein'schen Modell

24/11/2008 - 00:42 von Robin Koch | Report spam
Heute habe ich auch mal wieder eine Frage:

Ich versuche Klein'schen Modell einer hyperbolischen Ebene (als ohne gekrümmte
Geraden) ein *regelmàßiges* Fünfeck mit fünf (hyperbolisch) rechten Winkeln zu
konstruieren.[1]

Ich habe erstmal ein bißchen mit Geogebra rumprobiert und bin auf folgende
Konstruktion gekommen (nachzuverfolgen auf
http://robin-koch.homepage.t-online...feck.html; Datenmenge < 1 MB):

1.) Einheitskreis K einzeichnen.
2.) Kreis L mit Radius PHI einzeichnen (Die Strecke PHI wurde konstruiert.)
3.) Regelmàßiges Fünfeck auf L konstruieren.
4.) Die Tangenten an K durch die Punkte A' bis E' anlegen.
5.) Die fünf Schnittpunkt P_1 bis P_5 einzeichnen. (Wie lassen sich genau diese
Schnittpunkt am einfachsten identifizieren?)
6.) Das Hexagramm aus P_1 bis P_5 einzeichnen.
7.-8.) Das eingeschriebene Fünfeck ABCDE einzeichnen.

Behauptung: Das Fünfeck ABCDE hat fünf hyperbolisch rechte Winkel[1].

Das ist bisher meine einzige Idee zur einer eindeutigen Konstruktion, in der ich
nichts mehr "zurechtschieben muß, wie bei meinen "Studien" zuvor.

Nur weiß ich nicht recht, wie ich die Aussage auch beweisen kann. Das also z.B.
P_1 wirklich der Pol zur Gerade DE ist. :-/

Abgesehen frage ich mich, ob es eine elegante Konstruktion gibt, die ohne diese
explizite Konstruktion von PHI in Schritt 2) auskommt bzw. wie man die
potentiellen Pole in Schritt 5) identifizieren lassen. (Es gibt ja durchaus noch
mehr Schnittpunkte der Tangeten.)

[1] Zwei hyperbolische Geraden P und Q heißen senkrecht zueinander, gdw. der Pol
von P zu K (=Einheitskreis) auf der (euklidischen) Verlàngerung von Q liegt.
(<=> ...der Pol von Q zu K (=Einheitskreis) auf der (euklidischen) Verlàngerung
von P liegt.)

Hat jemand einen Vorschlag zum Beweis?
Oder einen Hinweis auf eine alternative Konstruktion?

Robin Koch
Bücher haben Ehrgefühl.
Wenn man sie verleiht, kommen sie nicht mehr zurück. - (Theodor Fontane)
 

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#1 Jutta Gut
24/11/2008 - 07:37 | Warnen spam
"Robin Koch" schrieb
Ich versuche Klein'schen Modell einer hyperbolischen Ebene (als ohne
gekrümmte
Geraden) ein *regelmàßiges* Fünfeck mit fünf (hyperbolisch) rechten
Winkeln zu
konstruieren.[1]

Ich habe erstmal ein bißchen mit Geogebra rumprobiert und bin auf folgende
Konstruktion gekommen (nachzuverfolgen auf
http://robin-koch.homepage.t-online...feck.html; Datenmenge < 1 MB):

1.) Einheitskreis K einzeichnen.
2.) Kreis L mit Radius PHI einzeichnen (Die Strecke PHI wurde
konstruiert.)
3.) Regelmàßiges Fünfeck auf L konstruieren.
4.) Die Tangenten an K durch die Punkte A' bis E' anlegen.
5.) Die fünf Schnittpunkt P_1 bis P_5 einzeichnen. (Wie lassen sich genau
diese
Schnittpunkt am einfachsten identifizieren?)
6.) Das Hexagramm aus P_1 bis P_5 einzeichnen.
7.-8.) Das eingeschriebene Fünfeck ABCDE einzeichnen.

Behauptung: Das Fünfeck ABCDE hat fünf hyperbolisch rechte Winkel[1].

Das ist bisher meine einzige Idee zur einer eindeutigen Konstruktion, in
der ich
nichts mehr "zurechtschieben muß, wie bei meinen "Studien" zuvor.

Nur weiß ich nicht recht, wie ich die Aussage auch beweisen kann. Das also
z.B.
P_1 wirklich der Pol zur Gerade DE ist. :-/



Das ist doch klar. DE geht durch die Berührpunkte der Tangenten, die man von
P_1 an den Einheitskreis legen kann, Das ist eine Definition der Polaren.

Übrigens, du meinst "Pentagramm".

Grüße
Jutta

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