FunkAna: Satz vom abgeschlossenen Graphen ohne Voraussetzung von Banachräumen

24/06/2008 - 20:36 von minusneun | Report spam
Hallo und guten Tag!

Ich suche nach einem (Gegen)Beispiel, dass zeigt, dass die
Voraussetzung von Banachràumen (als Definitions - und Bildraum)
notwendig sind.
(Hier kurz der Satz, wie wir ihn gelernt haben: Seien X,Y Banachràume
und T: X -> Y sei linear und abgeschlossen. Dann ist T stetig.)

Wenn X kein Banachraum ist (aber Y einer), sollte folgendes Bsp.
zeigen, dass die Aussage des Satzes nicht mehr gilt:
X := C^1[0,1] (Raum der stetig diffbaren Fkt. auf [0,1]) mit
Supremumsnorm (bekanntlich kein Banachraum)
Y := C[0,1] (Raum der stetigen Fkt. auf [0,1]) mit Supremumsnorm (ein
Banachraum)
T := Differentialoperator x -> Tx = x'
T ist abgeschlossen, aber nicht mehr stetig. Siehe beispielsweise
Funktionenfolge f_n(t) = t^n

Kennt jemand ein (Gegen)Beispiel, das zeigt, dass die Aussage des
Satzes ebenfalls falsch wird, wenn X zwar ein Banachraum ist, aber Y
keiner.

Mit freundlichem Gruß,
Sebastian
 

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#1 Hans Crauel
24/06/2008 - 23:47 | Warnen spam
Klaus-Bàrbel schrieb

Kennt jemand ein (Gegen)Beispiel, das zeigt, dass die Aussage des
Satzes ebenfalls falsch wird, wenn X zwar ein Banachraum ist, aber Y
keiner.



Werner, Funktionalanalysis, gibt zu dieser Aufgabe einen Hinweis.

Hans Crauel

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