Quelle für komplexe Definition von atan2 bzw. arg

13/12/2007 - 13:23 von Alexander Dahl | Report spam
Hallo zusammen,

ich benutze für eine Rechnung die Funktion atan2(y,x) also den
"Arkustangens" von zwei Argumenten. Dies entspricht ja der Funktion
arg(x+iy), also dem Winkel einer Zahl in der komplexen Zahlenebene. In
der Wikipedia [1] und in der Hilfe von Maple wird diese Funktion über
den Hauptwert des komplexen Logarithmus wie folgt definiert:

-i * ln( (x+iy) / sqrt(x^2+y^2) )

Ich habe versucht eine andere Quelle für diese Definition zu finden,
klassische gedruckte Literatur, aber bin bisher erfolglos gewesen. Im
Bronstein habe ich es nicht gefunden. Hat jemand eine Idee, wo das zu
finden ist? Oder kann man das schnell und leicht nachvollziehbar
selbst herleiten? Wie müsste man dann ansetzen?

Danke und Gruß
Alex

[1] http://de.wikipedia.org/wiki/Arkust...erkungen_2
 

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#1 Roland Franzius
13/12/2007 - 15:33 | Warnen spam
Alexander Dahl schrieb:
Hallo zusammen,

ich benutze für eine Rechnung die Funktion atan2(y,x) also den
"Arkustangens" von zwei Argumenten. Dies entspricht ja der Funktion
arg(x+iy), also dem Winkel einer Zahl in der komplexen Zahlenebene. In
der Wikipedia [1] und in der Hilfe von Maple wird diese Funktion über
den Hauptwert des komplexen Logarithmus wie folgt definiert:

-i * ln( (x+iy) / sqrt(x^2+y^2) )

Ich habe versucht eine andere Quelle für diese Definition zu finden,
klassische gedruckte Literatur, aber bin bisher erfolglos gewesen. Im
Bronstein habe ich es nicht gefunden. Hat jemand eine Idee, wo das zu
finden ist? Oder kann man das schnell und leicht nachvollziehbar
selbst herleiten? Wie müsste man dann ansetzen?




Mit tan z = sin z / cos z hat man

tan z = 1/i (e^(2iz)-1)/(e^(2iz)+1)

Setzt man e^(2iz)=q, ergibt sich

(q-1)/(q+1) = i tan z = i u

Augelöst nach q

q = (1-iu)/(1+iu)

und da die e-Funktion mod 2 pi i im Argument eindeutig ist

2 i z mod (2 pi i) = log((1-iu)/(1+iu)

Also folgt

Arctan (u) = i/2 log( (1+iu)/(1-iu) ) + n pi

Für u reell liegt z=(1+iu)/(1-iu) auf dem Einheitskreis. Nennen wir also
x=r cos phi, y=r sin phi, dann haben wir

phi =Arctan(x,y) = i/2 (log( 1 - i y/x )/(1+i y/x)
= 1/(2i) log(( x+iy)/(x-iy) )
= Im log (x+iy)

Das kann man dann noch in deine Formel übersetzen, wenn man den Faktor
1/2 in den Log zieht und unter der Wurzel den Bruch mit dem Zàhler
erweitert.

= 1/i log(Sqrt((x+iy)^2/(x^2+y^2)))


Nichts davon ist ein Beweis, weil Potenzrechnung mit komplexen Zahlen
nicht so einfach funktioniert, aber in einer offenen komplexen Umgebung
von reell z=1 ist die Formel offenbar richtig.


Roland Franzius

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