Fwd: Fwd: Re: Konvergenz und Fibonacci-Folge

07/12/2009 - 23:01 von Nicolas v. Wedel | Report spam

Date: Mon, 7 Dec 2009 21:42:24 +0100
Subject: Fwd: Re: Konvergenz und Fibonacci-Folge
From: Nicolas v. Wedel <480@wirklichkeiten.com>
Newsgroups: de.sci.mathematik



Date: Mon, 07 Dec 2009 13:07:04 +0100 Subject: Re: Konvergenz
und Fibonacci-Folge From: Wolfgang Kirschenhofer
<w.kirschenhofer@kstp.at> Newsgroups: de.sci.mathematik

Jutta Gut schrieb:


"Nicolas v. Wedel" <480@wirklichkeiten.com> schrieb



Habe ich die Konvergenz der Fibonacci-Quotientenfolge logisch richtig
gezeigt, wenn ich

1. den Grenzwert bestimme über die Annahme, die Folge habe einen
Grenzwert
(also Phi erhalte)
2. mit eben diesem Grenzwert die Beschrànktheit der Folge zeige und
3. die Monotonie nachweise

gemàß dem Sprüchlein "monoton und beschrànkt ist konvergent".



Wie schon ein paarmal erwàhnt, ist die Folge der Fibonacci-Quotienten
eben nicht monoton: 1/1 < 2/1, 2/1 > 3/2, 3/2 < 5/3 ... Das Kriterium
"monoton und beschrànkt ist konvergent" nützt dir also bei diesem
Beispiel nichts. Du könntest vielelicht zeigen, dass die Folge
alternierend ist (also abwechselnd steigend und fallend) und |a_n+1 -
a_n| gegen 0 geht.

Grüße
Jutta



Hallo Nicolas!

Sei wieder x_n:= F_{n+1}/F_n , n>=1.

Nun ein Beweis,daß lim(n->oo) x_n = Phi, ohne die Binet'sche Formel zu
verwenden: Ich verwende: x_n >=1 (1)
und Phi - 1 = 1/Phi (2)

Aus F_{n+1}=F_n + F_{n-1} folgt

x_n = 1 + 1/x_{n-1} (3)

Aus (3) und (2) folgt

Phi - x_n = Phi -1 - 1/x_{n-1}= 1/Phi - 1/x_{n-1} =(x_{n-1} - Phi)/(Phi*x_{n-1}) und daraus weiter

|Phi-x_n| = |Phi-x_{n-1}|/(Phi*x_{n-1}) und daraus folgt weiter, wegen x_n>=1,
daß

Hier Wolfgang, stolpere ich: Wàre x_n-1 >=1, dann wàre Gl. 4 unmittelbar
klar, aber für n=1 folgt der nicht definierte Wert x_0 und aus x_n>=1
weiss ich nicht, wie ich auf x_n-1 >=1 schließen soll. Der Schluss ist
aber doch erforderlich, weil sonst Gl. (4) nicht korrekt hergeleitet
wàre - oder???

|Phi-x_n| <= |Phi-x_{n-1}|/Phi (4)

Und aus (4) folgt durch Induktion, daß

|Phi-x_n| <= |Phi-x_1|/(Phi^(n-1)) (5)

Wegen Phi=(1+sqrt(5))/2 > 1, folgt aus (5),daß

|Phi - x_n| -> 0 für n->oo


Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer




Hallo Wolfgang,

Dank' Dir. Ein schöner Nachweis zur Konvergenz dieser Folge.

Habe mir ein bischen den Ast abgebrochen, um (noch) Gl. (5) induktiv zu
beweisen. Hat aber - meine ich - funktioniert, wenn man - wie Du schon
schreibst - die gesicherte Gl. (4) heranzieht; ohne die Gl. (4) hàtte ich alt
ausgesehen :-)

Gruss Nico

 

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#1 Wolfgang Kirschenhofer
07/12/2009 - 23:56 | Warnen spam
Nicolas v. Wedel schrieb:

Date: Mon, 7 Dec 2009 21:42:24 +0100
Subject: Fwd: Re: Konvergenz und Fibonacci-Folge
From: Nicolas v. Wedel
Newsgroups: de.sci.mathematik



Date: Mon, 07 Dec 2009 13:07:04 +0100 Subject: Re: Konvergenz
und Fibonacci-Folge From: Wolfgang Kirschenhofer
Newsgroups: de.sci.mathematik

Jutta Gut schrieb:
"Nicolas v. Wedel" schrieb

Habe ich die Konvergenz der Fibonacci-Quotientenfolge logisch richtig
gezeigt, wenn ich

1. den Grenzwert bestimme über die Annahme, die Folge habe einen
Grenzwert
(also Phi erhalte)
2. mit eben diesem Grenzwert die Beschrànktheit der Folge zeige und
3. die Monotonie nachweise

gemàß dem Sprüchlein "monoton und beschrànkt ist konvergent".


Wie schon ein paarmal erwàhnt, ist die Folge der Fibonacci-Quotienten
eben nicht monoton: 1/1 < 2/1, 2/1 > 3/2, 3/2 < 5/3 ... Das Kriterium
"monoton und beschrànkt ist konvergent" nützt dir also bei diesem
Beispiel nichts. Du könntest vielelicht zeigen, dass die Folge
alternierend ist (also abwechselnd steigend und fallend) und |a_n+1 -
a_n| gegen 0 geht.

Grüße
Jutta



Hallo Nicolas!

Sei wieder x_n:= F_{n+1}/F_n , n>=1.

Nun ein Beweis,daß lim(n->oo) x_n = Phi, ohne die Binet'sche Formel zu
verwenden: Ich verwende: x_n >=1 (1)
und Phi - 1 = 1/Phi (2)

Aus F_{n+1}=F_n + F_{n-1} folgt

x_n = 1 + 1/x_{n-1} (3)

Aus (3) und (2) folgt

Phi - x_n = Phi -1 - 1/x_{n-1}= 1/Phi - 1/x_{n-1} > =(x_{n-1} - Phi)/(Phi*x_{n-1}) und daraus weiter

|Phi-x_n| = |Phi-x_{n-1}|/(Phi*x_{n-1}) und daraus folgt weiter, wegen x_n>=1,
daß

Hier Wolfgang, stolpere ich: Wàre x_n-1 >=1, dann wàre Gl. 4 unmittelbar
klar, aber für n=1 folgt der nicht definierte Wert x_0 und aus x_n>=1
weiss ich nicht, wie ich auf x_n-1 >=1 schließen soll. Der Schluss ist
aber doch erforderlich, weil sonst Gl. (4) nicht korrekt hergeleitet
wàre - oder???

|Phi-x_n| <= |Phi-x_{n-1}|/Phi (4)

Und aus (4) folgt durch Induktion, daß

|Phi-x_n| <= |Phi-x_1|/(Phi^(n-1)) (5)

Wegen Phi=(1+sqrt(5))/2 > 1, folgt aus (5),daß

|Phi - x_n| -> 0 für n->oo


Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer




Hallo Wolfgang,

Dank' Dir. Ein schöner Nachweis zur Konvergenz dieser Folge.

Habe mir ein bischen den Ast abgebrochen, um (noch) Gl. (5) induktiv zu
beweisen. Hat aber - meine ich - funktioniert, wenn man - wie Du schon
schreibst - die gesicherte Gl. (4) heranzieht; ohne die Gl. (4) hàtte ich alt
ausgesehen :-)

Gruss Nico





Hallo Nicolas!

Ich war in der Ausführung etwas schlampig, weil es beim Beweis nicht
darauf ankommt, ob man mit x_1 oder x_2 usw. beginnt.
Jetzt genauer:
Es gilt natürlich x_n>=1 für alle n>=1, aber Gleichung (3) gilt nur für
alle n>=2 und Ungleichung (4) ebenfalls nur für alle n>=2.
Ungleichung (5) gilt aber wieder für alle n>=1, denn
|Phi-x_1|<=|Phi-x_1|/(Phi^0)=|Phi-x_1|
Der undefinierte Wert x_0 kommt jetzt nicht mehr vor.

Ich hoffe, nun ist deine Frage beantwortet.

Gruss,
Wolfgang Kirschenhofer

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