G. Cantor: "Bemerkungen mit Bezug auf den Aufsatz: Zur Weierstraß- Cantorschen Theorie der Irrationalzahlen"

19/10/2015 - 19:37 von WM | Report spam
Es möge mir gestattet sein, nur ganz kurz auf die Bedenken zu
antworten, welche Herr Illigens in bezug auf meine Theorie der
Irrationalzahlen ausgesprochen hat. Seine Einwànde scheinen mir alle
darauf hinaus zu laufen, daß den mit Hilfe von sogenannten
Fundamentalreihen eingeführten irrationalen Zahlbegriffen b, bŽ, b
ŽŽ, ... die Bedeutung einer anschaulichen Vielheit nicht zugesprochen
werden können. Darin hat er gewiß recht; es ist aber auch weder von
mir noch von anderen jemals behauptet worden, daß die Zeichen b, bŽ, b
ŽŽ, ... konkrete Größen im eigentlichen Wortsinne seien. Als abstrakte
Gedankendinge sind sie nur Größen im uneigentlichen oder übertragenen
Sinne des Wortes. Für entscheidend muß hier angesehen werden, daß man,
wie jeder mit meiner Theorie Vertraute weiß, mit Hilfe dieser
abstrakten Größen b, bŽ, bŽŽ, ... eigentliche konkrete Größen, z. B.
geometrische Strecken usw., quantitativ genau zu bestimmen imstande
ist (vgl. Math. Ann. Bd. V, p. 127). Wenn dies gehörig berücksichtigt
wird, so fallen alle von Herrn I. gemachten Einwànde in bezug auf die
in übertragenem Sinne gebrauchten Bezeichnungen des "Größer-",
"Kleiner-" und "Gleichseins" der verschiedenen Zahlgrößen, und
ebensowenig wird man Anstoß daran nehmen können, eine Zahlgröße b in
übertragenem Wortsinne als Grenze der Glieder der ihr zugehörigen
Fundamentalreihe zu bezeichnen.
Daß es aber Herrn I. selbst, welcher am Schlusse seines Aufsatzes
ausdrücklich die Irrationalzahlen anerkennt, an einer Definition der
letzteren fehlt, erkennt man aus seiner Auflösung der Gleichung x^2 =
3, welche vermeintlich durch Wurzel 3 geschieht; wàhrend offenbar
Wurzel 3 nichts anderes ist als eine Umschreibung der aufgeworfenen
Frage: eine Zahl zu suchen, deren Quadrat 3 ist. Wurzel 3 ist also nur
ein Zeichen für eine Zahl, welche erst noch gefunden werden soll,
nicht aber deren Definition. Letztere wird jedoch in meiner Weise etwa
durch
(1,7, 1,73, 1,732, ...)
befriedigend gegeben.

{{Nein, das ist nicht der Fall. Aus keiner dieser endlichen
Ziffernfolgen kann man die gemeinte Zahl erkennen. Und eine unendliche
Ziffernfolge haben Sie leider anzugeben versàumt. Sollten wir Wurzel
aus 3 aber erraten, so wàre die Sicherheit der Mathematik dahin.
Bleiben wir also besser bei der Definition von Herrn Weihbischof
Illigens.
http://de.wikipedia.org/wiki/Illigens
Mit Hilfe seiner Definition können Mathematiker sich über Zahlen
verstàndigen, mit Hilfe Ihrer Definition aber nicht.

Gruß, WM
 

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#1 0#
01/01/1970 - 01:00 | Warnen spam
(H0Iger SchuIz) Wrote in message:
Rudolf Sponsel wrote:

Aber das war ja schon bei Wurzel 3 so, weil es keine Zahl gibt, die, mit
sich selbst multipliziert, 3 ergibt.



Doch.



Genau, sonst hàtte die Raumdiagonale
eines Würfels der Kantenlànge 1 keine
Lànge.

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