Ganzheitsbasen in Q(sqrt(d))

27/01/2009 - 12:07 von Ralf Goertz | Report spam
Hallo,

aus einem Zahlentheorie-Skript entnehme ich folgendes:

Sei K ein Zahlkörper, also eine endliche Erweiterung von Q, und sei R
der ganze Abschluss von Z in K. Jedes Element von R ist also Nullstelle
eines Polynoms f(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+...a_0=0 mit a_i \in Z. Eine
Basis (b_0,...,b_{n-1}) von K über Q heißt Ganzheitsbasis von K, wenn
sich jedes Element von R als Linearkombination der Basiselemente mit
Koeffizienten aus Z darstellen làsst. Die Diskriminante d_K von K ist
gleich der Determinante einer (beliebigen) Ganzheitsbasis. Eine Basis
von K/Q ist genau dann Ganzheitsbasis, wenn die Determinante der Basis
gleich d_K ist.

Soweit, so gut. Wenn wir jetzt aber den Körper K:=Q(sqrt(5)) betrachten,
ergibt sich für mich ein Problem. Offenbar ist B:=(1,sqrt(5)) eine Basis
von K über Q. B ist aber keine Ganzheitsbasis, denn x:=(1+sqrt(5))/2 ist
ganz über Z (wegen x ist Nullstelle von X^2-X-1), làsst sich aber nicht
darstellen als a+b*sqrt(5) mit ganzen Zahlen a und b. Hingegen ist
G:=(1,x) eine Ganzheitsbasis. Aber beide haben dieselbe Determinante,
denn für Ganzheitsbasen GB von Q(sqrt(d)) mit d \in Z gilt

/4*d, für d==2 oder 3 (mod 4)
det(GB)=|
\d, für d==1 (mod 4)

also det(G)=5. Da B Basis aus Potenzen von sqrt(5) ist, gilt
det(B)=Diskriminante des Minimalpolynoms von sqrt(5). Dieses ist X^5-5,
hat also Diskriminante 5.

Wo ist der Fehler?

Ralf
 

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#1 Armin Saam
27/01/2009 - 16:23 | Warnen spam
"Ralf Goertz" schrieb im
Newsbeitrag news:497eeb0e$0$32678$
Hallo,

aus einem Zahlentheorie-Skript entnehme ich folgendes:

Sei K ein Zahlkörper, also eine endliche Erweiterung von Q, und sei R
der ganze Abschluss von Z in K. Jedes Element von R ist also Nullstelle
eines Polynoms f(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+...a_0=0 mit a_i \in Z. Eine
Basis (b_0,...,b_{n-1}) von K über Q heißt Ganzheitsbasis von K, wenn
sich jedes Element von R als Linearkombination der Basiselemente mit
Koeffizienten aus Z darstellen làsst. Die Diskriminante d_K von K ist
gleich der Determinante einer (beliebigen) Ganzheitsbasis. Eine Basis
von K/Q ist genau dann Ganzheitsbasis, wenn die Determinante der Basis
gleich d_K ist.

Soweit, so gut. Wenn wir jetzt aber den Körper K:=Q(sqrt(5)) betrachten,
ergibt sich für mich ein Problem. Offenbar ist B:=(1,sqrt(5)) eine Basis
von K über Q. B ist aber keine Ganzheitsbasis, denn x:=(1+sqrt(5))/2 ist
ganz über Z (wegen x ist Nullstelle von X^2-X-1), làsst sich aber nicht
darstellen als a+b*sqrt(5) mit ganzen Zahlen a und b. Hingegen ist
G:=(1,x) eine Ganzheitsbasis. Aber beide haben dieselbe Determinante,
denn für Ganzheitsbasen GB von Q(sqrt(d)) mit d \in Z gilt

/4*d, für d==2 oder 3 (mod 4)
det(GB)=|
\d, für d==1 (mod 4)

also det(G)=5. Da B Basis aus Potenzen von sqrt(5) ist, gilt
det(B)=Diskriminante des Minimalpolynoms von sqrt(5). Dieses ist X^5-5,
hat also Diskriminante 5.

Wo ist der Fehler?




Nun, einer liegt in der vorletzten Zeile. Richtig: X^2-5. Sollten noch
weitere vorhanden sein, so müsste ich sie noch suchen.

AS

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