gekoppelte lineare Differentialgleichungen

21/06/2009 - 14:07 von Stefan Sprungk | Report spam
Für zwei elastische gekoppelte Schwungmassen bekomme ich die folgenden
beiden, miteinander gekoppelten, linearen Differentialgleichungen heraus.

-c*r1-c*(r1-r2)=m*r1"
-c*r2-c*(r2-r1)=m*r2"

c ist eine Kopplungskonstante, r1 ist die Koordinate für Masse 1 und r2
ist die Koordinate für Masse 2. r1" und r2" sind die zweiten Ableitungen
nach der Zeit.

Die Anfangsbedingungen sehen wie folgt aus.
r1(0) <> 0, r2(0)=0, r1"(0)=r2"(0)=0

Ich suche einen geschickten Ansatz zum Lösen dieses Systems. Ich habe es
bereits mit der Variation der Konstanten und mit Laplace
Transformationen versucht. Es entstehen dabei Formeln die mir zu wülstig
erscheinen. Für r1(t) und r2(t) im Bildbereich erhalte ich z.B.

L{r1(s)}=r1(0)*m^2*s^3/N(s) + r1(0)*2*C*m*s/N(s)
N(s)=s^4*m^2+s^2*c*m+5*c^2

L{r2(t)}=c*L{r1(t)}/(s^2*m+2*cd)

Ich habe ehrlich gesagt keine sehr große Motivation es jetzt noch mit
Partialbruchzerlegungen weiter zu versuchen. Gibt es einen guten Trick
elegant zu einer Lösung zu gelangen? Oder kennt vielleicht jemand
geeignete Korrespondentabellen?

MFG Stefan
 

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#1 Ulrich Lange
21/06/2009 - 14:32 | Warnen spam
Stefan Sprungk schrieb:
Für zwei elastische gekoppelte Schwungmassen bekomme ich die folgenden
beiden, miteinander gekoppelten, linearen Differentialgleichungen heraus.

-c*r1-c*(r1-r2)=m*r1"
-c*r2-c*(r2-r1)=m*r2"

c ist eine Kopplungskonstante, r1 ist die Koordinate für Masse 1 und r2
ist die Koordinate für Masse 2. r1" und r2" sind die zweiten Ableitungen
nach der Zeit.

Die Anfangsbedingungen sehen wie folgt aus.
r1(0) <> 0, r2(0)=0, r1"(0)=r2"(0)=0



Hallo Stefan,

sind wirklich Anfangsbedingungen für die zweiten (und nicht die ersten)
Ableitungen gegeben?

(Falls obige Gleichungen wirklich richtig sind,) hilft folgender Trick:
Subtraktion der beiden Gleichungen ergibt:

m*(r1"-r2") = -3*c*(r1-r2)

Addition ergibt:

m*(r1"+r2") = -c*(r1+r2)

Die Summenfunktion s=r1+r2 und die Differenzfunktion d=r1-r2 erfüllen
also *entkoppelte* lineare DGL 2. Ordnung.

Gruß, Ulrich Lange

(ulrich punkt lange bindestrich mainz at t-online punkt de)

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