Generationen (Modell) und Gleichgewichte

01/07/2011 - 01:11 von Valerian | Report spam
Hallo,

betrachten wir eine Modellierung der Vererbung von Blutgruppen. Der
Einfachheit halber betrachten wir die Blutgruppen A0 und AA sowie
B0 und BB als unterscheidbar, auch wenn die Phànotypen identisch
sind. Gerechnet wird nur mit Prozentwerten.

Gegeben sei die erste Generation wie folgt:
p(1) := Prozentsatz an Personen mit Blutgruppe 00.
q(1) := Prozentsatz an Personen mit Blutgruppe A0.
r(1) := Prozentsatz an Personen mit Blutgruppe AA.
s(1) := Prozentsatz an Personen mit Blutgruppe AB.
t(1) := Prozentsatz an Personen mit Blutgruppe BB.
u(1) := Prozentsatz an Personen mit Blutgruppe B0.

(Da jedes Mitglied genau eine dieser Blutgruppen hat, gilt für
jede Generation i natürlich p(i)+q(i)+r(i)+s(i)+t(i)+u(i)=1.)

Für die nàchste Generation nehmen wir an, dass alle Mitglieder
jeweils gleichwahrscheinlich genau eine Hàlfte ihrer Blutgruppen-
bezeichnung weitergeben. Somit ergibt sich folgende Regel:

p(i+1) := (p(i)+q(i)+u(i))^2
q(i+1) := (p(i)+q(i)+u(i))*(q(i)+r(i)+s(i))*2
r(i+1) := (q(i)+r(i)+s(i))^2
s(i+1) := (q(i)+r(i)+s(i))*(s(i)+t(i)+u(i))*2
t(i+1) := (s(i)+t(i)+u(i))^2
u(i+1) := (p(i)+q(i)+u(i))*(s(i)+t(i)+u(i))*2

Der Faktor 2 tritt jeweils auf, weil die beiden Blutgruppen "A0"
und "0A" (bzw. "B0" und "0B" sowie "AB" und "BA") identisch sind.

(Da die Summe der vorigen Generation gerade 1 war und 1^2 = 1,
bleibt die Summe der neuen Generation ebenfalls genau 1.)

Wenn man mit einer völlig beliebigen Verteilung der Blutgruppen
in der ersten Generation startet, ergeben sich meist verànderte
Werte für die zweite Generation (wie es zu erwarten war).
Allerdings stellt sich danach sofort ein Gleichgewicht ein.
Bereits die dritte Generation weist exakt die gleiche Verteilung
auf wie die zweite. (Hieran sieht man, dass das Modell nur
bedingt der Realitàt entspricht, das spielt für die Aufgabe
jedoch keine Rolle.)

Die Frage hierzu lautet:
(a) Das Gleichgewicht wird immer direkt mit der zweiten Genera-
tion erreicht. Es treten unabhàngig von der Startpopulation
niemals langsamere Annàherungen an einen Grenzwert oder
Oszillationen zwischen mehreren Attraktoren statt. Woran
liegt das?
(b) Die meisten Startpopulationen stellen KEIN Gleichgewicht dar,
veràndern sich also noch einmal, bevor sie eine für alle
weiteren Generationen stabile Verteilung erreichen. Was
zeichnet diese stabil bleibenden Gleichgewichtsverteilungen
aus?

Habt Ihr eine Idee für einen Erlàuterungsansatz?

Vielen Dank und schöne Grüße,

Valerian K.
 

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#1 karl
01/07/2011 - 10:52 | Warnen spam
Am 01.07.2011 01:11, schrieb Valerian:
Hallo,

betrachten wir eine Modellierung der Vererbung von Blutgruppen. Der
Einfachheit halber betrachten wir die Blutgruppen A0 und AA sowie
B0 und BB als unterscheidbar, auch wenn die Phànotypen identisch
sind. Gerechnet wird nur mit Prozentwerten.

Gegeben sei die erste Generation wie folgt:
p(1) := Prozentsatz an Personen mit Blutgruppe 00.
q(1) := Prozentsatz an Personen mit Blutgruppe A0.
r(1) := Prozentsatz an Personen mit Blutgruppe AA.
s(1) := Prozentsatz an Personen mit Blutgruppe AB.
t(1) := Prozentsatz an Personen mit Blutgruppe BB.
u(1) := Prozentsatz an Personen mit Blutgruppe B0.

(Da jedes Mitglied genau eine dieser Blutgruppen hat, gilt für
jede Generation i natürlich p(i)+q(i)+r(i)+s(i)+t(i)+u(i)=1.)

Für die nàchste Generation nehmen wir an, dass alle Mitglieder
jeweils gleichwahrscheinlich genau eine Hàlfte ihrer Blutgruppen-
bezeichnung weitergeben. Somit ergibt sich folgende Regel:

p(i+1) := (p(i)+q(i)+u(i))^2
q(i+1) := (p(i)+q(i)+u(i))*(q(i)+r(i)+s(i))*2
r(i+1) := (q(i)+r(i)+s(i))^2
s(i+1) := (q(i)+r(i)+s(i))*(s(i)+t(i)+u(i))*2
t(i+1) := (s(i)+t(i)+u(i))^2
u(i+1) := (p(i)+q(i)+u(i))*(s(i)+t(i)+u(i))*2

Der Faktor 2 tritt jeweils auf, weil die beiden Blutgruppen "A0"
und "0A" (bzw. "B0" und "0B" sowie "AB" und "BA") identisch sind.

(Da die Summe der vorigen Generation gerade 1 war und 1^2 = 1,
bleibt die Summe der neuen Generation ebenfalls genau 1.)

Wenn man mit einer völlig beliebigen Verteilung der Blutgruppen
in der ersten Generation startet, ergeben sich meist verànderte
Werte für die zweite Generation (wie es zu erwarten war).
Allerdings stellt sich danach sofort ein Gleichgewicht ein.
Bereits die dritte Generation weist exakt die gleiche Verteilung
auf wie die zweite. (Hieran sieht man, dass das Modell nur
bedingt der Realitàt entspricht, das spielt für die Aufgabe
jedoch keine Rolle.)

Die Frage hierzu lautet:
(a) Das Gleichgewicht wird immer direkt mit der zweiten Genera-
tion erreicht. Es treten unabhàngig von der Startpopulation
niemals langsamere Annàherungen an einen Grenzwert oder
Oszillationen zwischen mehreren Attraktoren statt. Woran
liegt das?
(b) Die meisten Startpopulationen stellen KEIN Gleichgewicht dar,
veràndern sich also noch einmal, bevor sie eine für alle
weiteren Generationen stabile Verteilung erreichen. Was
zeichnet diese stabil bleibenden Gleichgewichtsverteilungen
aus?

Habt Ihr eine Idee für einen Erlàuterungsansatz?

Vielen Dank und schöne Grüße,

Valerian K.



Das Stichwort hier ist "Markovketten".

Ciao
Karl

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