Generatoren in höherdimensionalen Darstellungen der SU(N)

19/02/2010 - 11:23 von Daniel Arnold | Report spam
Hallo zusammen

Ich möchte gerne einen offensichtlich eleganten Weg verstehen, wie man
den Index C(R) einer irreduziblen Darstellung R der SU(N) berechnen
kann. Dieser ist definiert als

Tr(T^a*T^b)=C(R)*delta^{ab}.

Ich möchte z.B. C(R) für die antisymmetrische 2-Index-Tensordarstellung
A_{ij}=-A_{ji} finden. Nehme dazu den folgenden Generator der
fundamentalen Darstellung der SU(N):

T=diag(1,-1,0,...,0),

wo insgesamt N-2 Nullen auf der Diagonalen erscheinen. Damit ist C(N)=2.
Nun kommt der Schritt, den ich nicht verstehe: Um nun den Generator für
die antisymmetrische Darstellung zu finden, addiere ich alle
Diagonalelemente antisymmetrisch. Will heissen: Die 1 addiere ich zur -1
(aber nicht umgekehrt) und zu den N-2 Nullen, dann die -1 mit den N-2
Nullen und schliesslich die N-2 Nullen untereinander. Für letzteres gibt
es 1/2*(N-2)(N-3) Möglichkeiten. Der Generator für die antisymmetrische
Darstellung hat also auf der Diagonale N-2 mal eine 1, N-2 mal eine -1
und 1/2*(N-2)(N-3)+1 mal eine Null. Die Dimension der Matrix betràgt also

2N-4+1/2*(N^2-5N+6)+1=1/2*N*(N-1),

was genau der Dimension der antisymmetrischen Darstellung entspricht.
Nun brauche ich nur noch diese Matrix (d.h. ihre Diagonalelemente) zu
quadrieren und die Spur zu nehmen. Ich erhalte so:

C(antisymm. Darst.)=Tr(T*T)=2*(N-2),

was, in der Normierung C(N)=2, stimmt.

Warum aber findet man den Generator der antisymmetrischen
Tensordarstellung wie oben beschrieben? In der Transformation eines
2-Index-Tensors erscheint das Produkt von zwei Transformationsmatrizen
(für jeden Index eine), jede wird geschrieben als exp(Generator in der
funad. Darst.). Will ich das nun in der Form exp(Generator in der
antisymm. Darst.) schreiben, muss ich also irgendwie die Summe der
Generatoren in der fundamentalen Darstellung nehmen, dabei aber
"richtig" antisymmetrisieren und dann die zwei Indexpaare so durch je
einen Index ersetzen, dass dabei die obige Diagonalmatrix herauskommt.

Ich blicke nicht durch! Kann mir das jemand erklàren? Oder eine Quelle
angeben, wo erklàrt wird, wie man aus den Generatoren in der
fundamentalen Darstellung jene für höherdimensionale Darstellungen gewinnt?

Danke und Gruss,
Daniel
 

Lesen sie die antworten

#1 Hendrik van Hees
19/02/2010 - 11:31 | Warnen spam
Ich bin mir nicht sicher, ob es da drin steht, aber es ist allemal ein
lohnendes Büchlein:

Harry Lipkin, Lie Groups for Pedestrians

Ein anderer Trick ist, daß die SU(n) die Symmetriegruppe des
harmonischen Oszillatorrs in n Raumdimensionen ist. Da kann man dann mit
den Erzeuger-Vernichteroperatoren sehr schön die Irreps. konstruieren.

Daniel Arnold wrote:

Hallo zusammen

Ich möchte gerne einen offensichtlich eleganten Weg verstehen, wie man
den Index C(R) einer irreduziblen Darstellung R der SU(N) berechnen
kann. Dieser ist definiert als

Tr(T^a*T^b)=C(R)*delta^{ab}.

Ich möchte z.B. C(R) für die antisymmetrische
2-Index-Tensordarstellung A_{ij}=-A_{ji} finden. Nehme dazu den
folgenden Generator der fundamentalen Darstellung der SU(N):

T=diag(1,-1,0,...,0),

wo insgesamt N-2 Nullen auf der Diagonalen erscheinen. Damit ist
C(N)=2. Nun kommt der Schritt, den ich nicht verstehe: Um nun den
Generator für die antisymmetrische Darstellung zu finden, addiere ich
alle Diagonalelemente antisymmetrisch. Will heissen: Die 1 addiere ich
zur -1 (aber nicht umgekehrt) und zu den N-2 Nullen, dann die -1 mit
den N-2 Nullen und schliesslich die N-2 Nullen untereinander. Für
letzteres gibt es 1/2*(N-2)(N-3) Möglichkeiten. Der Generator für die
antisymmetrische Darstellung hat also auf der Diagonale N-2 mal eine
1, N-2 mal eine -1 und 1/2*(N-2)(N-3)+1 mal eine Null. Die Dimension
der Matrix betràgt also

2N-4+1/2*(N^2-5N+6)+1=1/2*N*(N-1),

was genau der Dimension der antisymmetrischen Darstellung entspricht.
Nun brauche ich nur noch diese Matrix (d.h. ihre Diagonalelemente) zu
quadrieren und die Spur zu nehmen. Ich erhalte so:

C(antisymm. Darst.)=Tr(T*T)=2*(N-2),

was, in der Normierung C(N)=2, stimmt.

Warum aber findet man den Generator der antisymmetrischen
Tensordarstellung wie oben beschrieben? In der Transformation eines
2-Index-Tensors erscheint das Produkt von zwei Transformationsmatrizen
(für jeden Index eine), jede wird geschrieben als exp(Generator in der
funad. Darst.). Will ich das nun in der Form exp(Generator in der
antisymm. Darst.) schreiben, muss ich also irgendwie die Summe der
Generatoren in der fundamentalen Darstellung nehmen, dabei aber
"richtig" antisymmetrisieren und dann die zwei Indexpaare so durch je
einen Index ersetzen, dass dabei die obige Diagonalmatrix herauskommt.

Ich blicke nicht durch! Kann mir das jemand erklàren? Oder eine Quelle
angeben, wo erklàrt wird, wie man aus den Generatoren in der
fundamentalen Darstellung jene für höherdimensionale Darstellungen
gewinnt?

Danke und Gruss,
Daniel



Hendrik van Hees
Institut für Theoretische Physik
Justus-Liebig-Universitàt Gießen
http://theorie.physik.uni-giessen.de/~hees/

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