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Geometrie: Kugel schneidet Ellipsoid

04/02/2009 - 23:03 von Ralf Kusmierz | Report spam
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Moin,

heute hat mir jemand eine interessante Beobachtung berichtet:

Man betrachte den Schnitt einer Kugelflàche mit der Radius R mit einer
konzentrischen Ellipsoidflàche mit den Achsen (a, b, c), also in
passenden rechtwinkligen Koordinaten

x^2 + y^2 + z^2 = R^2

und

(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1 .

O. B. d. A. sei a < R < c, dann existieren Schnittkurven der beiden
Flàchen.

I) Die Parallelprojektionen der Schnittkurven auf die
Koordinatenebenen sind Kegelschnitte (bzw. Stücke davon).
II) Die Zentralprojektion der Schnittlinien vom Ursprung auf eine
Ebene ist eine Ellipse.

I) ist trivial; làßt sich II) vielleicht elegant mit einem Satz aus
der projektiven Geometrie zeigen?


Gruß aus Bremen
Ralf
R60: Substantive werden groß geschrieben. Grammatische Schreibweisen:
adressiert Appell asynchron Atmosphàre Autor bißchen Ellipse Emission
gesamt hàltst Immission interessiert korreliert korrigiert Laie
nàmlich offiziell parallel reell Satellit Standard Stegreif voraus
 

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#1 Ken Pledger
05/02/2009 - 00:01 | Warnen spam
Ralf Kusmierz schrieb:


Man betrachte den Schnitt einer Kugelflàche mit der Radius R mit einer
konzentrischen Ellipsoidflàche mit den Achsen (a, b, c), also in
passenden rechtwinkligen Koordinaten

x^2 + y^2 + z^2 = R^2

und

(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1 .

O. B. d. A. sei a < R < c, dann existieren Schnittkurven der beiden
Flàchen.

II) Die Zentralprojektion der Schnittlinien vom Ursprung auf eine
Ebene ist eine Ellipse.

làßt sich II) vielleicht elegant mit einem Satz aus
der projektiven Geometrie zeigen?




Auf der Schnittlinie ist

(x^2 + y^2 + z^2) - (R^2)((x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2) = 0.

Diese Gleichung darstellt einen Kegel zweiten Grades. Ein solcher Kegel
schneidet eine Ebene an einem Kegelshnitt.

Ken Pledger

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