Geometrische Konstruktionen

01/07/2009 - 11:56 von Ralf . K u s m i e r z | Report spam
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Moin,

ich habe ein bißchen in den Thread über Konstruktionen nur mit dem
Lineal hineingeschaut.

Ich war "leider" in der Schule in Mathematik in einem gewissen naiven
Sinn ziemlich gut und habe deswegen geometrische Konstruktionen
meistens intuitiv ganz ordentlich hingekriegt und mir deswegen
natürlich keine Gedanken über die Konstruierbarkeit gemacht bzw. die
Frage, "wie man eigentlich darauf kommt". Falls ich es richtig weiß,
ist die Konstruierbarkeit eines Punktes mit Zirkel und Lineal mit
dessen Definition durch die Lösung einer quadratischen Gleichung
àquivalent. Dann sollte es vielleicht vorstellbar sein, daß man aus
den Bedingungen geometrischer Örter ganz formal
Konstruktionsanweisungen automatisch generieren lassen kann. Wo kann
man dazu etwas einigermaßen Allgemeinverstàndliches lesen?

Was wàren die Bedingungen für die Konstruktion allein mit dem Zirkel
oder allein mit dem Lineal?

Mal überlegen:

Zirkel - damit kann man Streckenlàngen abgreifen und Kreise (Kugeln)
mit diesem Radius um gegebene Punkte schlagen. Neue Punkte (Kreise)
kann man daraus durch den Schnitt von zwei Kreisen gewinnen (denn ohne
Lineal gibt es keine Schnitte mit Geraden bzw. Strecken).
Konstruktionen mit dem Zirkel laufen also darauf hinaus, eine Folge
von Punkten aus vorgegebenen Punkten und Streckenlàngen zu
konstruieren. Die neuen Punkte sind offensichtlich Lösungen
quadratischer Gleichungen.

Lineal - damit lassen sich offenbar Geraden durch gegebene Punkte
sowie Schnitte von solchen mit (gegebenen) Kurven konstruieren.

Die Frage wàre nun, /welche/ quadratischen Glg. so gelöst werden
können, und damit, ob eine vorliegende Aufgabe insoweit lösbar ist.
Vermutlich gibt es dazu eine vollstàndige Theorie.


Gruß aus Bremen
Ralf
R60: Substantive werden groß geschrieben. Grammatische Schreibweisen:
adressiert Appell asynchron Atmosphàre Autor bißchen Ellipse Emission
gesamt hàltst Immission interessiert korreliert korrigiert Laie
nàmlich offiziell parallel reell Satellit Standard Stegreif voraus
 

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#1 Philippe 92
01/07/2009 - 15:02 | Warnen spam
Ralf . K u s m i e r z schrieb :
[...]
Konstruierbarkeit eines Punktes mit Zirkel und Lineal mit
dessen Definition durch die Lösung einer quadratischen Gleichung
àquivalent.



Hallo,

Es ist ein wenig mehr kompliziert...
weil man kann quadratische Gleichungen "ketten".
Und auch Lösungen von lineare Gleichungen (Schnittpunkte von Geraden)

Die Wichtige Theorie ist Körper Theorie.

[...]
Lineal - damit lassen sich offenbar Geraden durch gegebene Punkte
sowie Schnitte von solchen mit (gegebenen) Kurven konstruieren.

Die Frage wàre nun, /welche/ quadratischen Glg. so gelöst werden
können, und damit, ob eine vorliegende Aufgabe insoweit lösbar ist.
Vermutlich gibt es dazu eine vollstàndige Theorie.



Mit L. ganz allein kann man nur projektive Konstruktionen führen,
das hilft ziemlich nicht in unserem "Euklidisches" Raum.
Man kann nur ein Projektives Koordinatensystem konstruiren.

Dann es kann bewiesen sein das alle Punkte die rationalle
Koordinaten (in {Q}) in diesem System haben , sind durch L. allein
konstruirbar, und nur diese.
Abschied quadratische Gleichungen...

Also es ist oft "Mit L. und etwas".
zum Beispiel L. und ein gegebenes Parallelogram.
(dann kann man noch nicht quadratische Gleichungen lösen)
Oder als in meine zwei Aufgaben, mit L. und gegebene Kreise.

Poncelet-Steiner Satz sagt dass mit Z. allein und ein gegebenes
Kreis mit seiner Mittelpunkt, alle Punkte die mit ZL. konstruirbar
sind, sind dann mit L. allein konstruirbar (mit hilfe dieses
gegebenes Kreis und seiner Mittelpunkt)

Dann Hilbert hat geprüft dass ohne der Mittelpunkt, man kann nicht
alles konstruiren, und es braucht noch etwas anderes.
Zwei beliebige Kreise genügen nicht.
Cauer hat dann geprüft dass Zwei schneidende Kreise genügen.
oder zwei konzentrische Kreise, oder zwei berührende Kreise,
oder drei Kreise, alle ohne Mittelpunkt.

Von der Körper Theorie Aussicht, die Menge aller Punkte die mit ZL.
konstruirbar sind, machen ein Körper, der ein sub-Körper von {R} ist.
Und es ist der kleinste sub-Körper {ZL} von {R} für deren gilt :
für alle u im {ZL}, dann sqrt(u) ist im {ZL}.

So beweist man z.B. dass die Menge der mit Lineal und Winkeln
halbierung konstruirbare Punkte ist kleiner als ZL.
(das heisst dass mit "elementare" Papierfaltung PF., man kann
weniger als mit Z.L. konstruiren)
{PF} ist der kleinste sub-Körper von {R} für deren gilt :
Für alle a und b im {PF}, sqrt(a^2 + b^2) ist im {PF}.
d.h. ein "Pythagoràischer Körper".

Dann man kann aus irreduzibel Gleichungen Theorie prüfen dass {PF}
kleiner als {ZL}, mit Hilfe der folgende Satz :
Wenn a in {PF} und P(X) der minimal Polynom von a auf {Q}, dann alle
Lösungen von P(x) = 0 sind in {R}.

Z.Beispiel 2^(1/4) ist im {ZL} aber nicht im {PF}, weil diese ist
Lösung der irreduzibel (in {Q}) Polynom X^4 - 2, deren Lösungen
sind nicht alle in {R}. Also 2^(1/4) kann nicht im {PF} sein, aus
vorigen Satz.

Gegeben höheren grades oder tranzendante Kurven kann man mehr als ZL.
konstruiren. Zum Beispiel gegeben eine Quadratrix von Dinostrates,
man kann die Kreis Quadrierung konstruiren
(gekennt seit 500 bevor C. ) !

Herzliche Grüsse.

Philippe Ch., mail : chephip+
site : http://mathafou.free.fr/ (recreational mathematics)

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