Geometrischer Ort 2

12/12/2010 - 11:33 von Jutta Gut | Report spam
Bestimme die Menge aller Punkte des R^3, die von der Einheitskugel und einer
Geraden denselben Abstand haben. (Der Abstand von der Kugel ist der kürzeste
Abstand, also |PM| - 1 oder 1 - |PM|.) Wie sieht die Flàche aus, wenn die
Gerade die Kugel schneidet, berührt oder an ihr vorbeigeht?

Ich versuche gerade, das mit dem Programm "Surfer" zu veranschaulichen.

Grüße
Jutta

P.S.
Kugel + Punkt: Rotationsellipsoid oder -hyperboloid
Kugel + Ebene: Rotationsparaboloid
 

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#1 Wolfgang Kirschenhofer
12/12/2010 - 20:06 | Warnen spam
Am 12.12.2010 11:33, schrieb Jutta Gut:
Bestimme die Menge aller Punkte des R^3, die von der Einheitskugel und
einer Geraden denselben Abstand haben. (Der Abstand von der Kugel ist
der kürzeste Abstand, also |PM| - 1 oder 1 - |PM|.) Wie sieht die Flàche
aus, wenn die Gerade die Kugel schneidet, berührt oder an ihr vorbeigeht?

Ich versuche gerade, das mit dem Programm "Surfer" zu veranschaulichen.

Grüße
Jutta

P.S.
Kugel + Punkt: Rotationsellipsoid oder -hyperboloid
Kugel + Ebene: Rotationsparaboloid



Hallo Jutta!

Habe folgendes gerechnet:
Sei M=(0,0,0) Mittelpunkt der Kugel vom Radius r.
Sei g die Gerade parallel zur z-Achse, durch den Punkt (c,0,0) gehend,
mit c>=r.
Für den gesuchten Ort (in kartesischen Koordinaten) gilt dann
z2 = 2*r*sqrt(x2-2*c*x+y2+c2) - 2*c*x+c2+r2

Sonderfall a):
Artet die Kugel zum Punkt M aus, d.h. r=0, dann lautet
die Gleichung z2 = -2*c*x +c2 (1)
Dies ist für c>0 die Gleichung eines parabolischen Zylinders, dessen
Mantelerzeugenden zur y-Achse parallel sind.

Sonderfall b):c=r . Die Gerade g ist jetzt Kugeltangente
Die Gleichung der Flàche lautet dann

z2=2*r*(sqrt(x2-2*r*x+y2+r2)-x+r) (2)

Ich schicke dir eine graphische Darstellung von (2) für die Werte
c=r=2 als Anhang in einer Mail. Die Graphik habe ich mit Hilfe von
MATHEMATICA erstellt und als PDF-File abgespeichert.
Leider habe ich im Gebrauch von MATHEMATICA viel zu wenig Übung und
kenne mich mit der Verwendung von Schiebereglern nicht aus.

Herzliche Grüße,
Wolfgang

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