Geometrischer Ort Hypar?

07/01/2011 - 14:01 von gudi | Report spam
Finde parametrizierten Ort (Oberflaeche) eines Punktes genau zwischen
( Abstaende sind gleich ) zwei nicht-kreuzenden [Englisch: skew]
Linien L1, L2 im 3 -Raum.

L1 ( x = 0, z = 0), y- Achse
L2 ( x= a, y = b u , z = h u ), geschraegte Gerade, Parameters u, a,b
sind Konstanten.

Bezweifle dass, ob sie Hyperbolisches Paraboloid ist.

Viele Gruesse,
Narasimham
 

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#1 Wolfgang Kirschenhofer
07/01/2011 - 15:24 | Warnen spam
Am 07.01.2011 14:01, schrieb gudi:
Finde parametrizierten Ort (Oberflaeche) eines Punktes genau zwischen
( Abstaende sind gleich ) zwei nicht-kreuzenden [Englisch: skew]
Linien L1, L2 im 3 -Raum.

L1 ( x = 0, z = 0), y- Achse
L2 ( x= a, y = b u , z = h u ), geschraegte Gerade, Parameters u, a,b
sind Konstanten.

Bezweifle dass, ob sie Hyperbolisches Paraboloid ist.

Viele Gruesse,
Narasimham



Hallo Narasimham!

Als Antwort habe ich jetzt meinen Beitrag vom 8.12.2010, 10:21
hieher kopiert:

Bezeichnung: vec(u) X vec(v) bedeutet das Vektorprodukt der
beiden Vektoren vec(u), vec(v).
Man kann ohne Beschrànkung der Allgemeinheit die x-Achse als
die erste Gerade g wàhlen und als zweite Gerade h eine Parallele
zur x-y-Ebene, die durch den Punkt (0,0,d) geht und den
Richtungsvektor (cos(a),sin(a),0) hat.
d ist dann der Normalabstand der beiden windschiefen (englisch:skew)
Geraden g und h.
Der Raumpunkt P=(x,y,z) hat dann von der Geraden g
den Abstand d_1=|(1,0,0) X (x,y,z)| und von der Geraden h
den Abstand d_2=|(cos(a),sin(a),0) X (x,y,w-d)|.

Es muß nun d_1 = d_2 gelten. Und daraus folgt dann:

z = (x*sin(a)-y*cos(a))^2/(2*d) - y^2/(2*d) + d/2

Dies ist die Gleichung eines Hyperbolischen Paraboloids,
falls a<>0 ist.

2 Sonderfàlle:
a) a=0: Die beiden Geraden g und h sind parallel und es gilt z=d/2.
D.h. das Paraboloid artet zu einer Ebene aus, die man auch
Mittenebene der beiden parallelen Geraden nennt.

b) a°:Die beiden windschiefen Geraden sind zueinander orthogonal
und es gilt z = x^2/(2*d) - y^2/(2*d) + d/2

Ergànzung:

vec(u)=(u_1,u_2,u_3), vec(v)=(v_1,v_2,v_3), dann ist das
Vektorprodukt vec(u) X vec(v)=(u_2*v_3-u_3*v_2,u_3*v_1-u_1*v_3,u_1*v_2-u_2*v_1)


Grüße,
Wolfgang Kirschenhofer

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