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Gesucht: Induktionsbeweis

23/10/2009 - 00:05 von Herbert Newman | Report spam
Und zwar für die Behauptung:

"x + y teilt x^(2n-1) + y^(2n-1) für n = 1, 2, 3, ..."

Also ich habe nach einigem Hin und Her zwar einen Beweis gefunden, aber der
kommt mir irgendwie zu kompliziert vor (angesichts der anderen Aufgaben in
dem Buch aus dem obiges Problem stammt).


Herbert
 

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#1 Carsten Schultz
23/10/2009 - 00:48 | Warnen spam
Herbert Newman schrieb:
Und zwar für die Behauptung:

"x + y teilt x^(2n-1) + y^(2n-1) für n = 1, 2, 3, ..."




Ohne Induktion:

(x+y) * sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k x^k y^(m-1-k)
=sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k x^(k+1) y^(m-1-k)
+ sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k x^k y^(m-k)
=-sum_{k=1}^m (-1)^k x^k y^(m-k)
+ sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k x^k y^(m-k)
=(-1)^(m+1)x^m + y^m

Mit Induktion und wahrscheinlich ungeschickt:

(x^(2n-1)+y^(2n-1))*(x^2+xy+y^2) - (x+y) (x^(2n-1)y+x y^(2n-1))
= x^(2n+1)+y^(2n+1)


Also ich habe nach einigem Hin und Her zwar einen Beweis gefunden, aber der
kommt mir irgendwie zu kompliziert vor (angesichts der anderen Aufgaben in
dem Buch aus dem obiges Problem stammt).



Ob obiges besser ist, weiß ich nicht.

Carsten Schultz (2:38, 33:47)
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