gewöhnliche lineare inhomogene DGL 2. Ordnung: Spezielle Lsg. finden

05/07/2009 - 14:13 von Markus Wichmann | Report spam
Hi all,

ich hab hier eine DGL gegeben:

y'' + 5y' + 4y = 2 sin x + 2


Die Lösungsbasis der homogenen Gleichung:

-x
y = e
1

-4x
y = e
2

Soweit, so gut. Nun konnte ich keine spezielle Lösung alleine durch
Überlegung finden. Darum dachte ich daran, die Methode der Variation der
Parameter zu benutzen. Nur hab ich irgendwo einen Rechenfehler drin, und
kann ihn nicht finden:

Zunàchst braucht man ja die Wronsky-Determinanten. Bei der zweiten
Ordnung ist das auch noch leicht machbar:

| -4x -x |
| e e | -5x
W =| | = 3e
| -4x -x |
| -4e e |

| -x |
| 0 e | -x -x
| | = -2e sin x - 2e
W = | -x |
1 | 2 sin x + 2 -e |

| -4x |
| e 0 | -4x -4x
W = | | = 2e sin x + 2e
2 | -4x |
| -4e 2 sin x + 2 |


Dann folgen die Koeffizientenfunktionen:

W_1 2 4x 2 4x
c '(x) = = - - e sin x - - e (Ach ja, die 2/3 e^4x sind nicht
1 W 3 3 ausgeklammert, weil ich auf die
Weise die Integraltabelle
benutzen kann.)

4x
,- 2e 1 4x
c (x) = | c'(x) dx = - - (4 sin x - cos (4x)) - - e
1 -' 1 51 6

W
2 2 x 2 x
c'(x) = -- = - e sin x - - e
2 W 3 3

x
e 2 x
c (x) = -- (sin x - cos x) + - e
2 3 3


Daraus folgen die Summanden der Zielfunktion:

( 4x )
( 2e 1 4x ) -4x
c (x) y (x) = ( - - (4 sin x - cos (4x)) - - e ) * e
1 1 ( 51 6 )

2 1
= - -- (4 sin x - cos (4x)) - -
51 6

8 2 1
= - -- sin x + -- cos (4x) - -
51 51 6


1 1 2
c (x) y (x) = - sin x - - cos x + -
2 2 3 3 3

3 2 1 1
=> y(x) = -- sin x + -- cos (4x) - - cos x + -
17 51 3 2

Soweit ist es doch logisch, oder? Nur ist das Problem, dass diese
Funktion die DGL nicht erfüllt:

y'' + 5y' + 4y

40 sin(4 x) + 24 cos(4 x) - 112 sin(x) + 6 cos(x) - 102
= - -
51

!= 2 sin x + 2



So, wo habe ich mich jetzt verrechnet? Oder gibt es noch eine andere
Variante zur Lösung? Es handelt sich hierbei um eine Übungsaufgabe für
ein zweites Semester Informatik, und der Prof hat ins Blatt geschrieben,
dass man die Funktion auch durch Überlegung herausbekommen könnte.

Na gut, dachte ich mir, überlege halt mal: y _muss_ einen Kosinus
enhalten, denn der ist in y'' dann mit umgekehrtem Vorzeichen drin,
weswegen er sich wegheben sollte. Außerdem ist dann in y' schonmal ein
Sinus drin, was ja durchaus positiv ist. Problem war nur, dass die
einzige Möglichkeit, die Kosinusse sich gegenseitig aufheben zu lassen,
war, den Kosinus von 2x zu nehmen, denn

f(x) = cos(2x)
f'(x) = -2 sin(2x)
f''(x) = -4 cos(2x)

f'' + 4f = 0

Problem war jetzt noch, dass der Sinus das falsche Vorzeichen und die
falsche Quantitàt hat:

f(x) = -cos(2x) + 0,5
f'(x) = 2 sin(2x)
f''(x) = 4 cos(2x)

f'' + 5f' + 4f = 4cos(2x) + 10sin(2x) -4cos(2x) + 2
= 10sin(2x) + 2
= 20 sin x cos x + 2

Jetzt muss ich noch irgenwie am Ende _nur_ den ersten Summanden durch
"10 cos x" teilen, aber wie soll ich das denn bitte machen?

TIA,
Markus
GUI - ein Hintergrundbild und zwölf XTerms

vim -c "exec \"norm iwHFG#NABGURE#IVZ#UNPXRE\"|%s/#/ /g|norm g??g~~"
 

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#1 Markus Wichmann
05/07/2009 - 19:19 | Warnen spam
Markus Wichmann wrote:
Hi all,

ich hab hier eine DGL gegeben:

y'' + 5y' + 4y = 2 sin x + 2





OK, ich konnte es jetzt lösen. Man sollte die Tabellen schon lesen
können, die man benutzt: In meiner stand drin


,- ax
| ax e
| e sin(bx) dx = (a sin(bx) - b cos (bx))
| 2 2
-' a +b


Ich las

... (a sin(bx) - b cos(ax))

Dadurch der Fehler.

FYI: Eine spezielle Lösung der DGL da oben ist

3 5 1
y(x) = -- sin x - -- cos x + -
17 17 2

Woraus folgt, dass die allgemeine Lösung wie folgt lautet:

-4x -x 3 sin x - 5 cos x 1
y(x) = c e + c e + -- + -
1 2 17 2

HTH,
Markus
GUI - ein Hintergrundbild und zwölf XTerms

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