Gibt es Zahlen größer als alle natürlichen Zahlen, aber kleiner aleph_0?

08/04/2009 - 00:03 von sbwerbe | Report spam
Hallo zusammen,

verzeiht, daß ich mal wieder geistigen Spam produziere. In einem
dieser Cantor-Threads hatte Herbert Newman gezeigt, wie man die
natürlichen Zahlen mittels Strichlisten darstellen kann ( |, ||,
|||, ... ) und dann auf aleph_0 = |||... kommt. Meine
Verstàndnisproblem war, wie es unendlich viele endliche natürliche
Zahlen geben kann, und was aleph_0 - 1 ist. Herbert hatte mir
geantwortet, daß aleph_0-1=aleph_0 ist bzw. das eine Subtraktion für
aleph_0 undefiniert ist. Ich habe in der Zwischenzeit immer mal wieder
über das Thema nachgedacht, ein wenig gelesen, und würde gerne wissen,
ob es denn nicht doch einen Bereich unterscheidbarer Objekte zwischen
den endlichen Zahlen und aleph_0 gibt.

Ich habe ein intuitives Verstàndnis von einer endlichen Zahl. Bei den
Strichlisten könnte ich mir ein zàhlendes Programm vorstellen, daß in
jedem Schritt einen weiteren Strich produziert. Zu jedem einzelnen
Schritt wird eine natürliche, endliche Zahl "erzeugt". Sinniert man
jedoch über das Programm als ganzes, "sieht" man die unendliche
Strichliste |||... welche die Menge aller dieser Zahlen darstellt.

Ist es zulàssig, aus |||... auf die binàre Darstellung 111... zu
kommen (über (|)(||)(||||)...=2^0+2^1+2^2+...)? Dann wàren doch auch
Zahlen denkbar, die größer als jede endliche Zahl sind, aber kleiner
als 111..., z.B. 011... . Oder Zahlen wie 000...1000..., wo also eine
1 an einer nicht-endlichen Stelle erscheint, aber unendlich viele 0
folgen.

Besten Dank für Eure Hilfe und gute Nacht
Sebastian
 

Lesen sie die antworten

#1 Uwe Bosse
08/04/2009 - 13:27 | Warnen spam
Hallo Sebastian,

Die Unendlichkeiten gehören in der Tat zu den faszinierendsten Objekten der
Mathematik. Hilbert (ich glaub er war es) hat gesagt: "Aus dem Paradies,
das Cantor uns geschaffen hat, wird uns niemand mehr vertreiben können."

Ich habe in der Zwischenzeit immer mal wieder
über das Thema nachgedacht, ein wenig gelesen, und würde gerne wissen,
ob es denn nicht doch einen Bereich unterscheidbarer Objekte zwischen
den endlichen Zahlen und aleph_0 gibt.




per definitionem ist aleph_0 die kleinste unendliche Kardinalzahl, d.h.
kleinere Kardinalzahlen sind endlich. Also ist Deine Frage ganz klar
mit "Nein" zu beantworten.

Ich habe ein intuitives Verstàndnis von einer endlichen Zahl.



... und vermutlich noch kein geschàrftes Verstàndnis für unendliche Zahlen.


Bei den
Strichlisten könnte ich mir ein zàhlendes Programm vorstellen, daß in
jedem Schritt einen weiteren Strich produziert. Zu jedem einzelnen
Schritt wird eine natürliche, endliche Zahl "erzeugt". Sinniert man
jedoch über das Programm als ganzes, "sieht" man die unendliche
Strichliste |||... welche die Menge aller dieser Zahlen darstellt.



Hier bist Du an einen entscheidenden Punkt gekommen, der in der historischen
Diskussion über Cantors "Paradies" auch eine wesentliche Rolle gespielt
hat: Darf man (die Kardinalitàt) unendlicher Mengen als eigenstàndige
Objekte betrachten (sozusagen Dein Programm als "Zahl" auffassen) oder kann
man Unendlichkeit lediglich als ein Potential auffassen: Dein Programm ist
potentiell in der Lage beliebig viele Striche zu erzeugen.

Zum Paradies wurde die Beschàftigung mit der Unendlichkeit dadurch, dass die
Mathematiker irgendwann eine Zahl wie aleph_0 als handhabbares
mathematisches Objekt akzepiert haben - freilich erst, nachdem die Regeln,
wie sie zu handhaben sind und wie nicht, klar gefasst wurden.


Ist es zulàssig, aus |||... auf die binàre Darstellung 111... zu
kommen (über (|)(||)(||||)...=2^0+2^1+2^2+...)? Dann wàren doch auch
Zahlen denkbar, die größer als jede endliche Zahl sind, aber kleiner
als 111..., z.B. 011... . Oder Zahlen wie 000...1000..., wo also eine
1 an einer nicht-endlichen Stelle erscheint, aber unendlich viele 0
folgen.



Hier wechselst Du vom Gebiet der Kardinalzahlen in das der Ordinalzahlen,
indem Du nicht mehr Màchtigkeiten, sondern Reihenfolgen - also Ordnungen -
betrachtest.

Der Unterschied ist der: eine Kardinalzahl beschreibt die Màchtigkeit einer
Menge. Alle Mengen haben die gleiche Kardinalitàt, zwischen denen es eine
Bijektion gibt. Eine Menge A hat kleinere Kardinalitàt als B, wenn es eine
Injektion von A in B gibt. So kann man Kardinalzahlen ordnen. "Sieben
Kartoffeln sind weniger als Neun, weniger als aleph_0" aber "aleph_0
Kartoffeln und zwei sind immer noch aleph_null kartoffeln". Diese Aussage
würde man durch Angabe einer Bijektion beweisen. (Übung!)

Ordinalzahlen stellen Reihenfolgen her nach dem Motto: "Du bist der erste,
Du bist der siebte, spàter kommt der neunte, irgendwann der omega-te und
dann der omaga-plus-eins-te." Gemeint könnten damit die Kartoffeln von oben
sein. Der Sack mit aleph_0 vielen Kartoffeln wird wie Deine Striche
aufgereiht, und zwei Kartoffeln darunter gelegt. Das wàren dann die
omega-te und die omaga-plus-eins-te Kartoffel.

Du könntest die Kartoffeln anders hinlegen, so dass die Reihenfolge wie
omega+omega aussieht.

Deine vorgeschlagene Reihenfolge von 0-1-Folgen geht in diese Richtung.
Du bedienst Dich offenbar zum Nummerieren der Stellenzahl einer Ordinalzahl
größer als omega, dann möchtest Du sie ordnen, und zwar so, dass von zwei
0-1-Folgen die die kleinere ist, die an der ersten Stelle, in der sie sich
unterscheiden, eine Null hat. Damit kommst Du zu einer interessanten
Ordnung, die allerdings nicht taugt, um Unendlichkeiten zu vergleichen.
Du könntest genausogut die ganzen Zahlen hinter die natürlichen Zahlen
hàngen. Dann gàbe es zu jeder ganzen Zahl (die ja in der Reihenfolge hinter
den unendlich vielen natürlichen làge) eine kleinere.

Gruß Uwe.



Besten Dank für Eure Hilfe und gute Nacht
Sebastian

Ähnliche fragen