Gleichschenkliges Dreieck

19/07/2016 - 14:08 von Hans-Peter Diettrich | Report spam
Gesucht ist die Arithmetik zu einem Positionierungssystem, bei dem zwei
parallele Spindeln (L,R) einen Pen P oder Werkzeug bewegen sollen:

P -->+X
/ \
/ \
L R
| |
| |

L und R können unabhàngig schrittweise in Y-Richtung verschoben werden.

Problem: Bewegung von L und R, so daß P möglichst genau eine
vorgegebenen Bahn (Geradenstück oder Ellipsen-Abschnitt) beschreibt.

Ich denke dabei an einen von Bresenham inspirierten Algorithmus, bei dem
die Koordinaten der möglichen (diskreten) Nachbarpunkten von P berechnet
und ihr Abstand zur vorgegebenen Bahnkurve ermittelt wird. Dann wird der
Punkt mit der kleinsten Abweichung von der vorgegebenen Bahn angefahren,
der gleichzeitig in der vorgegebenen Durchlaufrichtung der Bahn liegt, usw.

Fàllt dazu jemandem eine Optimierung ein, welche die Berechnung der
Abweichungen bzw. Schritte vereinfacht?

Z.B. àndert eine gleichartige Verschiebung von L und R nur die
Y-Koordinate von P, X bleibt unveràndert. Gibt es auch eine
Verschiebung, die Y unveràndert làßt?

Eine gegenphasige Bewegung von L und R um +1 oder -1 verschiebt P nur in
zwei Quadranten, in der linken Hàlfte des Zeichenbereichs (X<0) in
(X+dx,Y+dY) bzw. (X-dx,Y-dy). Wie könnte diese Einschrànkung aufgehoben
werden, um auch eine Bewegung nach z.B. (X+dx,Y-dy) zu erreichen?

Oder kann das Problem anders einfacher gelöst werden?

Vielen Dank fürs Mitdenken
DoDi
 

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#1 Detlef MÃŒller
19/07/2016 - 23:28 | Warnen spam
Am 19.07.2016 um 14:08 schrieb Hans-Peter Diettrich:
Gesucht ist die Arithmetik zu einem Positionierungssystem, bei dem zwei
parallele Spindeln (L,R) einen Pen P oder Werkzeug bewegen sollen:

P -->+X
/ \
/ \
L R
| |
| |

L und R können unabhàngig schrittweise in Y-Richtung verschoben werden.

Problem: Bewegung von L und R, so daß P möglichst genau eine
vorgegebenen Bahn (Geradenstück oder Ellipsen-Abschnitt) beschreibt.



Vielleicht kann man sich erst einmal etwas theoretischer überlegen,
welche Punkte erreicht werden können.

Die Spindeln liegen auf zwei parallelen Geraden, nennen wir sie
l und r mit einem Abstand d.

Ich nehme an die Punkte L und R sind über starre, in der Ebene liegende
Schienen gleicher Lànge s mit P verbunden (und in diesem Punkt und L, R
beweglich gekoppelt mit einer Art Gelenk).

Wenn wir zunàchst annehmen, L und R sind auf den Geraden frei
positionierbar, sind geometrisch alle Mittelpunkte P von Kreisen
K_P vom Radius s, die beide Geraden schneiden erreichbar.

Ein mechanisches Problem dürfte entstehen, wenn der Winkel in P
gestreckt ist - dann gibt es bei einer Positionsànderung von L
oder R zwei Richtungen, in die P ausweichen kann (was durch die
Konstruktion des Gelenks vermutlich in der Praxis wieder eindeutig
gemacht werden kann).

Startet man aber mit dem angedeuteten Bild als Ausgangsposition,
so sind P und L Lösungen der Schnitt-Gleichungen K_S geschnitten mit
l bzw. r und die jeweils anderen Schnittpunkte sind in sicherer
Entfernung.

Nun soll sich P entlang einer Kurve h(t) bewegen.
Solange "alles mit rechten Dingen zu geht" sollte dann
die resultierenden Schnittpunkte L(t), R(t) auch stetig auf
l bzw. r bleiben (solange die Zweige der Lösungen der
Schnittpunktgleichung getrennt bleiben) ...

Das scheint mir von der Anschauung her einleuchtend.

Ich befürchte aber die Schnitt-Gleichungen führen auf
Polynome 4-ten Grades, was für ein explizites Ausrechnen von
L(t) bzw. R(t) sehr unangenehm wird (sonst hàttest Du wohl auch
nicht gefragt).

Eventuell bekommt man aber über implizites Differenzieren
heraus, wie dL/dt und dR/dt sich aus der aktuellen Situation
bestimmen lassen - wenn man so die Geschwindigkeit von R(t) und
L(t) entlang der Geraden in den Griff bekommt, wàre das vielleicht
schon ein Fortschritt ...

Nun ja - womöglich warst Du so weit schon lange.

Gruß,
Detlef


Dr. Detlef Müller,
http://www.mathe-doktor.de oder http://mathe-doktor.de

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