Gleichseitiges Dreieck auf Paraboloid

22/09/2010 - 10:39 von Michael Koch | Report spam
Hallo,

ich versuche (bislang leider vergeblich) eine analytische Lösung für
folgendes Problem zu finden:

Gegeben sei ein Rotations-Paraboloid im dreidimensionalen Raum:
z = x^2 + y^2

Auf die Oberflàche dieses Paraboloids soll ein gleichseitiges Dreieck
aufgelegt werden. Das heisst die drei Eckpunkte sollen gleichzeitig
Punkte des Paraboloids sein. Das Dreieck soll spiegelsymmetrisch zur y=0
Ebene orientiert sein.

Man könnte nun den ersten Eckpunkt vorgeben:
x1 = a
y1 = 0
z1 = a^2

Alternativ könnte man auch den zweiten und dritten Eckpunkt vorgeben:
x2 = b
y2 = +-k (je nach Vorzeichen Punkt 2 oder 3)
z2 = b^2 + k^2
wobei k die Hàlfte der (bekannten) Kantenlànge des gleichseitigen
Dreiecks ist.

Aber wie kann man nun die Koordinaten der anderen Eckpunkte berechnen,
ohne auf Nàherungen oder iterative Verfahren zurückzugreifen?
Also entweder ist a gegeben und b ist gesucht.
Oder b ist gegeben und a ist gesucht.
Oder ein Parameter c wird vorgegeben und daraus werden a und b berechnet.

Gibt es dafür eine analytische Lösung?

Gruss
Michael
 

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#1 Jutta Gut
22/09/2010 - 12:29 | Warnen spam
"Michael Koch" schrieb

ich versuche (bislang leider vergeblich) eine analytische Lösung für
folgendes Problem zu finden:

Gegeben sei ein Rotations-Paraboloid im dreidimensionalen Raum:
z = x^2 + y^2

Auf die Oberflàche dieses Paraboloids soll ein gleichseitiges Dreieck
aufgelegt werden. Das heisst die drei Eckpunkte sollen gleichzeitig Punkte
des Paraboloids sein. Das Dreieck soll spiegelsymmetrisch zur y=0 Ebene
orientiert sein.

Man könnte nun den ersten Eckpunkt vorgeben:
x1 = a
y1 = 0
z1 = a^2

Alternativ könnte man auch den zweiten und dritten Eckpunkt vorgeben:
x2 = b
y2 = +-k (je nach Vorzeichen Punkt 2 oder 3)
z2 = b^2 + k^2
wobei k die Hàlfte der (bekannten) Kantenlànge des gleichseitigen Dreiecks
ist.

Aber wie kann man nun die Koordinaten der anderen Eckpunkte berechnen,
ohne auf Nàherungen oder iterative Verfahren zurückzugreifen?
Also entweder ist a gegeben und b ist gesucht.
Oder b ist gegeben und a ist gesucht.
Oder ein Parameter c wird vorgegeben und daraus werden a und b berechnet.

Gibt es dafür eine analytische Lösung?



Der Abstand des ersten und zweiten Eckpunkts ist 2k:

(x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1-z2)^2 = (2k)^2
(a-b)^2 + k^2 + (a^2-b^2-k^2)^2 = 4k^2

Wenn du a und k weißt, ist das eine Gleichung 4. Grades für b. Meinst du das
mit "analytisch"?

Grüße
Jutta

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