Gleichungssysteme mit freiem Parameter

05/02/2010 - 04:49 von Daniel Gerwening | Report spam
Hallo,

vielleicht habe ich gerade einen dicken Knoten im Kopf. Machmal kommt
das ja vor, wenn man von der falschen Seite an ein Problem kommt.

Angenommen ich habe ein Gleichungsystem der Form

q X_n = A_(n,1) X_1 + ... + A_(n,N) X_N

q sei ein freier Parameter. Dann ist die Bestimmung der Q, für die es
eine nichttriviale Lösung gibt, ein Eigenwertproblem der Matrix A.
Soweit so gut.

Wie ist es nun aber, wenn das Gleichungssystem nichtlinear wird? Wie
finde ich heraus, für welche q

q X_n = A_(n,1) X_1 + ... + A_(n,N) X_N + X_n^3

nichttrivial lösbar ist?

Gruß
 

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#1 Ulrich Lange
05/02/2010 - 08:07 | Warnen spam
Daniel Gerwening schrieb:

vielleicht habe ich gerade einen dicken Knoten im Kopf. Machmal kommt
das ja vor, wenn man von der falschen Seite an ein Problem kommt.

Angenommen ich habe ein Gleichungsystem der Form

q X_n = A_(n,1) X_1 + ... + A_(n,N) X_N



oder kompakter geschrieben: qx=Ax mit quadratischer Matrix A, Vektor x
und Skalar q.

q sei ein freier Parameter. Dann ist die Bestimmung der Q, für die es
eine nichttriviale Lösung gibt, ein Eigenwertproblem der Matrix A.
Soweit so gut.



Ja.

Wie ist es nun aber, wenn das Gleichungssystem nichtlinear wird? Wie
finde ich heraus, für welche q

q X_n = A_(n,1) X_1 + ... + A_(n,N) X_N + X_n^3

nichttrivial lösbar ist?



Ein allgemeines Verfahren, hier *alle* nichttrivialen q zu bestimmen,
gibt es (so viel ich weiß) nicht.

Du hattest ja geschrieben, daß Numerik erlaubt ist: Obiges
Gleichungssystem ist ein Spezialfall der Gleichung

F(x,q) = 0

wobei F eine Funktion F: IR^N x IR --> IR^N ist.

Wenn eine (triviale) Lösung dieser Gleichung bekannt ist,
(In Deinem Beispiel gilt ja z.B. F(0,0)=0), kommt man oft mit
numerischen Fortsetzungsmethoden weiter. Stichworte dazu sind:

Implizite Funktionen, Parameterfortsetzung, Bifurkationstheorie.

http://en.wikipedia.org/wiki/Implic...on_theorem
http://en.wikipedia.org/wiki/Numeri...ntinuation
http://en.wikipedia.org/wiki/Bifurcation_theory

Wie Du den Links entnehmen kannst, kann es bei solchen nichtlinearen
Gleichungen aber schnell sehr unübersichtlich werden.

Gruß, Ulrich Lange

(ulrich punkt lange bindestrich mainz at t-online punkt de)

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