Golomb Winkelmesser

26/02/2016 - 10:38 von Ralf Goertz | Report spam
In der guten alten Zeit®, als es hier nicht nur unendliche
Unendlichkeitsthreads sondern auch noch interessante Themen gab, las ich
etwas über seltsame Lineale, die mit dem Namen Golomb verknüpft sind.
Die Aufgabe ist, mit möglichst wenig Markierungen möglichst viele
verschiedene Strecken messen zu können. Schon damals wollte ich
Parallelen zu meiner Meinung nach noch sonderbareren Gebilden aufzeigen,
mit denen ich mich zu der Zeit beschàftigte, bin aber in der Masse der
Postings untergegangen. Jetzt dachte ich, versuche ich es nochmal.
Vielleicht interessiert es jemanden.

Die Idee ist, das Lineal zu einem Kreis zu biegen, um dann mit möglichst
wenigen Markierungen möglichst viele Winkel messen zu können. Die erste
Frage, die man sich stellen kann, lautet: „Wie viele Winkel kann ich
maximal mit n Markierungen überhaupt messen?“ Nun, diese Antwort ist
noch leicht. Man benötigt für einen Winkel zwei Markierungen.
Andererseits bestimmen zwei Markierungen im Allgemeinen auch zwei
Winkel, einmal den Winkel α und dann das Komplement 2π-α. Also haben wir
n*(n-1) mögliche Winkel (den Winkel 0 schließen wir aus).

Fangen wir doch mit n=2 an. Ganz offenbar ist es unwichtig, an welcher
Stelle man die erste Markierung anbringt. Wir einigen uns also darauf,
dass die erste Markierung immer auf der 12 liegt, wenn wir den
Winkelmesser mal als Uhr betrachten. Die zweite Markierung auf die 6 zu
legen, wàre kontraproduktiv, weil wir dann zweimal den Winkel π messen
würden. Legen wir sie dagegen auf 4, dann können wir 2π/3 und 4π/3
messen. Zusàtzlich haben wir noch die schöne Eigenschaft, dass wir alle
ganzzahligen Vielfachen von 2π/(n*(n-1)+1) haben, wir können also alle
Vielfachen zwischen 0 und 3 darstellen. Nennen wir Markierungen mit
dieser Eigenschaft optimal. Auch für n=3 kann man optimale Markierungen
finden. Welche sind das? Und sind sie eindeutig (das heißt gehen zwei
verschiedene Paare von Markierungen durch Drehung auseinander hervor)?

Es ist vorteilhaft, dass wir nicht n (also der Anzahl der Markierungen)
ausgehen, sondern die Ordnung m=n-1 betrachten. Warum? Weil es für alle
m der Form m=p^r mit p eine Primzahl und r ∈ ℕ einen optimalen Satz von
Markierungen gibt. (Den Fall r=0 mit beliebigem p haben wir gerade
gehabt und betrachten ihn nicht weiter.) Warum das so ist, hat mit
endlichen Körpern zu tun und macht diese Dinger in meinen Augen so
spannend. Denn ganz offenbar kann man das Ganze auch rein auf
zahlentheoretischer Ebene betrachten. Dazu sei D_m eine Menge von Zahlen
mit der Eigenschaft, dass sich alle nichtneutralen Elemente von ℤ/vℤ mit
v=m²+m+1 auf genau eine Art und Weise als Differenz d_i-d_j von zwei
Elementen von D_m darstellen làsst. Dies entspricht genau den optimalen
Markierungen oben. Nehmen wir mein Lieblingsbeispiel m=4, dann ist v!
und D_4={0,1,6,8,18} erfüllt die Anforderung an Optimalitàt:

1 = 1 - 0
2 = 8 - 6
3 = 0 - 18
4 = 1 - 18
5 = 6 - 1
6 = 6 - 0
7 = 8 - 1
8 = 8 - 0
9 = 6 - 18
10 = 18 - 8
11 = 8 - 18
12 = 18 - 6
13 = 0 - 8
14 = 1 - 8
15 = 0 - 6
16 = 1 - 6
17 = 18 - 1
18 = 18 - 0
19 = 6 - 8
20 = 0 - 1

So wie es egal ist, welche Markierung beim Winkelmesser oben ist, so ist
es egal, ob ich jedes Element von D_m mit einer beliebigen festen
natürlichen Zahl k addiere. Da in jedem D_m die 1 dargestellt werden
können muss, kann man k=d_j wàhlen, wenn gilt d_i-d_j=1. Die so
entstandene Menge D'_m enthàlt dann die Zahlen 0 und 1. Es schließen
sich viele mögliche Fragen zu diesen D_m an, von denen ein Großteil
geklàrt ist. Wer sich aber selbst ein wenig hineindenken mag, findet
eine Fülle von Anregungen:

* Gibt es verschiedene D_m und D'_m, die beide jeweils die 0 und 1
enthalten?
* Wenn ja, wieviele zu jedem m?
* Gibt es D_m mit einem m, das keine Primpotenz ist?
* Wie finde ich überhaupt D_m zu beliebigem m?
* Kann man eine Uhr bauen, die die Zeit über optimale Markierungen
anzeigt?

Ralf
 

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#1 Rainer Rosenthal
27/02/2016 - 20:07 | Warnen spam
Am 26.02.2016 um 10:38 schrieb Ralf Goertz:

Die Idee ist, das Lineal zu einem Kreis zu biegen, um dann mit möglichst
wenigen Markierungen möglichst viele Winkel messen zu können.



Hallo Ralf,

erst einmal herzlichen Dank für die dem Endlichen entlehnte Fragestellung.
Ich vermute, dass die Verallgemeinerung des Golomb-Lineal-Themas
von Intervall zu Kreis bereits ausführlich untersucht wurde, bin
aber im Moment mit tausend (etwa) anderen Sachen beschàftigt.
Ich wünsche Dir gute Zuschriften hier in d.s.m.

Gruß,
Rainer

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