Graphentheorie => Lineare Algebra / Algebra => Nullstellen eines Polynoms => Ich kann nicht mehr rechnen

23/02/2014 - 14:53 von Robert Hartmann | Report spam
Hallo zusammen,

erschreckt (erstaunt) bin ich zu dem Schluss gekommen, dass ich nicht
mehr rechnen kann.

Ausgehend von einem gerichteten Graphen dessen Adjazenzmatrix
deutlich übersichtlich ist:
(Von Knoten A geht ein Pfeil zu B und C,
Von Knoten B geht ein Pfeil zu C
Von Knoten C geht ein Pfeil zu A)

A [ 0 1 1
0 0 1
1 0 0 ]

Wollte ich die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen,
denn A^k = S W^k S^-1 (wobei S die Matrix der Eigenvektoren und W die
Matrix der Eigenwerte ist),
um in A^k die Anzahl der einfachen Wege der Lànge k zwischen zwei Konten
abzulesen.

Die Eigenwerte w (nicht notwendigerweise reell) von A sind bekanntlich
die Lösungen der Gleichung
det(A-wI) = 0 mit I die passende Einheitsmatrix.

Obige Matrix führt mich zur Bestimmung der Nullstellen des Polynoms:

-w^3 + w + 1 = 0

Der fundamental Satz der Algebra liefert:
1) Ein Polynom n-ten Gerades über C besitzt genau n (nicht notw.
verschiedene) Nullstellen
2) Hat das Polynom reelle Koeffizienten und ist z=a+bi eine m-fache
Nullstelle, so ist auch die zu z Konjugiertkomplexe z'=a-bi eine m-fache
Nullstelle
3) Jedes Polynom über R ungeraden Grades besitzt mindestens eine
reelle Nullstelle.


Das Polynom -w^3 + w + 1 ist offenbar dritten Gerades und hat reelle
Koeffizienten daraus folgt die Vermutung:
Es hat eine reelle Nullstelle und zwei zueinander komplex-konjugierte
Nullstellen.

Rationale Nullstellen hat das Polynom nicht, denn weder 1 noch -1 sind
Nullstellen.

Ich habe folgende zwei Ansàtze probiert: komme aber bei beiden nicht
weiter...

Ansatz 1:
Polynomfaktorisierung (wahrscheinlich falsch):

(-w - x)(-w - y)(-w - z) und ausmultipliziert
= -w^3 + (x - y - z)w^2 + (xz + xy - yz)w + xyz

Koeffizientenvergleich mit -w^3 + w + 1 liefert
x-y-z = 0
xz+xy-yz = 1
xyz = 1
(drei Gleichungen mit drei Unbekannten ... sollte lösbar sein,
ich finde nur keine)

Ansatz 2:
Polynomfaktorisierung mit zwei Komplexen und einer reellen Nullstelle:

(-w + (a+bi)) (-w + (a-bi)) (-w + c) und ausmultipliziert
= -w^3 + (2a+c)w^2 - (a^2 - 2ac - b^2)w + a^2 c + b^2 c

Koeffizientenvergleich mit -w^3 + w + 1 liefert
2a + c = 0
a^2 - 2ac - b^2 = -1
a^2 c + b^2 c = 1
(drei Gleichungen mit drei Unbekannten ... sollte lösbar sein,
ich finde nur keine, z.B. stecke ich hier nach endlichen Umformungen
beim Ausdruck "12a^3 = 2a - 1" fest)


Ich hoffe, jemand hat Lust und möchte mir das Brett vorm Kopf entfernen.

Danke,

Gruß Robert
 

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#1 Ronald Benedik
23/02/2014 - 18:05 | Warnen spam
"Robert Hartmann" schrieb im Newsbeitrag news:lecuhg$rhb$

Hallo zusammen,

Obige Matrix führt mich zur Bestimmung der Nullstellen des Polynoms:

-w^3 + w + 1 = 0

Ich hoffe, jemand hat Lust und möchte mir das Brett vorm Kopf entfernen.



Mathematica 8.0 liefert eine reelle und 2 konjugiert komplexe Nullstellen.

Mit Wolfram Alpha kommt man auch weiter:

https://www.wolframalpha.com/input/...2B+1+%3D+0

Es gibt die Möglichkeit die 3 Lösungen durch Radikale (Wurzel-Formeln)
darzustellen. Geeignete Formeln findet man sicher im Netz.

Im Allgemeinen kann man die Nullstellen von Polynomen bis zum Grad 4
immer durch Radikale darstellen.

Grüße von Ronald

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