Grenzwert einer rekursiven Folge

08/06/2008 - 16:58 von Johann Schneider | Report spam
Hallo NG,

ich habe hier in einem Aufsatz eine rekursive Folge,
a_{k+1} = (1 + c/k + O(k^-2))* a_k

wobei O das große Landau Symbol sein soll und c kleiner 0 ist.

Ich würde mal vermuten (bzw. es muss so sein), dass die Folge gegen 0
konvergiert, da ja jedes Mal mit einem Ausdruck kleiner 1 multipliziert
wird, jedoch weiß ich nicht so genau, wie man sowas formal beweist.

Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank

Johann
 

Lesen sie die antworten

#1 Jan Fricke
08/06/2008 - 19:44 | Warnen spam
Johann Schneider wrote:
Hallo NG,

ich habe hier in einem Aufsatz eine rekursive Folge,
a_{k+1} = (1 + c/k + O(k^-2))* a_k

wobei O das große Landau Symbol sein soll und c kleiner 0 ist.

Ich würde mal vermuten (bzw. es muss so sein), dass die Folge gegen 0
konvergiert, da ja jedes Mal mit einem Ausdruck kleiner 1 multipliziert
wird, jedoch weiß ich nicht so genau, wie man sowas formal beweist.

Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?



Für hinreichend großes k kann man die Betràge wie folgt abschàtzen:
|a_{k+1}| * (1 - c/(2k)) < |a_k|.
Um zu zeigen, dass |a_k| eine Nullfolge ist, muss gezeigt werden, dass
das unendliche Produkt über 1 - c/(2k) divergiert. Das divergiert aber
genau dann, wenn die Reihe über -c/(2k) divergiert. Das ist ein
Vielfaches der harmonischen Reihe und divergiert folglich.

Anhang: Für x_k >= 0 gilt
prod(1 + x_k) konvergiert <> sum(x_k) konvoergiert.
Beweis:
prod(1 + x_k) < oo
==> 1 + sum(x_k) + sum(x_k*x_l) + ... < oo
==> sum(x_k) < oo.

sum(x_k) < oo
==> exp(sum(x_k)) < oo
==> prod(exp(x_k)) < oo
==> prod(1 + x_k) < oo.


Viele Grüße Jan

Ähnliche fragen