Grenzwert einer (unendlichen) Summe

25/04/2016 - 09:04 von Udo | Report spam
Hallo,

unter Spektrum.de findet sich aktuell eine interessante Aufgabe:
(Treitz-Ràtsel / Mathematik / 126)
http://www.spektrum.de/raetsel/summ...2n/1336261)

Über eine geometrische Anschauung wird gezeigt, dass für n->oo der Ausdruck

x^2
Summe -- von x=1 bis n
2^x

dem Wert 6 zustrebt.

Wie kann man das analytisch zeigen bzw. herleiten?

Wàre nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.

Danke und Grüße
Udo
 

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#1 Alfred Flaßhaar
25/04/2016 - 17:24 | Warnen spam
Am 25.04.2016 um 09:04 schrieb Udo:

(...)

Über eine geometrische Anschauung wird gezeigt, dass für n->oo der Ausdruck

x^2
Summe -- von x=1 bis n
2^x

dem Wert 6 zustrebt.



(...)

Hallo Udo,

für die n-te Partialsumme s(n) kann die Vermutung/Behauptung

s(n) = 6-2^(-n)*(n^2+4*n+6)

mit Hilfe vollstàndiger Induktion bewiesen werden. Der Grenzwert ist
dann offensichtlich. Frage aber nicht, wie mühsam man zu dieser
Behauptung kommt. Ich kenne hierzu keinen "eleganten" analytischen Weg.

Gruß, Alfred

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