Grenzwerte von Folgen

23/05/2009 - 20:29 von Reiner Reiff | Report spam
Hallo,

mich beschàftigt momentan folgendes Problem:

Gegeben sind zwei Folgen (a_n) und (b_n), für die gilt:

1. (b_n) divergiert gegen + unendlich.

2. Das Produkt der beiden Folgen (a_n b_n) konvergiert gegen 1.

Über das Konvergenzverhalten von (a_n) ist nichts bekannt. Intuitiv würde
ich sagen, daß (a_n) gegen 0 konvergiert muß, um (b_n) zu "erschlagen".

Ich denke speziell an die Primzahldichte a_n = pi(n) / n, (pi(n) ist die
Anzahl der Primzahlen <= n) und b_n = ln n .
Es ist bekannt, daß ln(n) pi(n) / n gegen 1 geht. Kann man daraus folgern,
daß p(n)/n gegen 0 geht?

Gruß
Reiner
 

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#1 Christopher Creutzig
23/05/2009 - 21:20 | Warnen spam
Reiner Reiff wrote:

1. (b_n) divergiert gegen + unendlich.

2. Das Produkt der beiden Folgen (a_n b_n) konvergiert gegen 1.

Über das Konvergenzverhalten von (a_n) ist nichts bekannt. Intuitiv würde
ich sagen, daß (a_n) gegen 0 konvergiert muß, um (b_n) zu "erschlagen".



Richtig. Einer von vielen möglichen Beweisen könnte anfangen mit

Zu jedem x gibt es ein n_0, so dass für alle n > n_0 die Ungleichung b_n
x erfüllt ist.



und dann eine Aussage über alle a_n*b_n für hinreichend große n dafür
benutzen, eine Aussage über alle a_n für hinreichend große n zu
erlangen. Versuch's.

Es ist bekannt, daß ln(n) pi(n) / n gegen 1 geht. Kann man daraus folgern,
daß p(n)/n gegen 0 geht?



Du kannst sogar folgern, dass pi(n)/n sich asymptotisch wie 1/ln(n)
verhàlt. Und das geht gegen 0, klar.

Man kann auf seinem Standpunkt stehen,
aber man sollte nicht darauf sitzen.
(Erich Kàstner)

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