Grundlage der zeitunabhängigen (Schrödinger-Rayleigh) Störungstheorie

17/12/2009 - 12:22 von Daniel Gerwening | Report spam
Hallo,

ich habe eine Frage zur zeitunabhàngigen Störungstheorie, die wir hier
lokal nicht zur allgemeinen Zufriedenheit lösen konnten.

In den Lehrbüchern gibt es im wesentlichen zwei Varianten zur Einführung.

Der Nolting sagt

H = H_0 + H_1

Anschließend geht er über zu

H = H_0 + \lambda H_1 mit 0 <= \lambda <= 1

\lambda ist dabei ein Parameter der die Störung "ein- bzw.
ausschaltet" und im Endeffekt 1 gesetzt wird.

Andere Bücher (z.B. "Pertubation Theory of Linear Operators" von T.
Kato) gehen direkt von

H = H_0 + \lambda H_1

aus. dabei ist \lambda<<1 und \lambda H_1 ist die die Störung.

Ich verstehe das so, dass z.B. im Fall des Wasserstoffatoms mit
Kernausdehnung (innerhalb des "Kernradius") im Noltingfall

H_1 = e^2/(4 \pi \epsilon_0 R) (3/2 - R/r - r^2/R^2)

ist, wàhrend im Kato-Fall

H_1 = (3/2 - R/r - r^2/R^2)

und

\lambda = e^2/(4 \pi \epsilon_0 R)

ist.

Im Nolting wird nun meiner Ansicht nach überhaupt nicht klar, warum
die Potenzreihe in \lambda, die den Zustand beschreibt, konvergieren
soll. \lambda ist schließlich im tatsàchlichen Fall 1. \lambda wird da
nur als "Buchhaltungsparameter" eingesetzt, nach dem spàter gruppiert
wird.

Die Gegenmeinung hier sieht das zwar prinzipiell ein, sagt aber, dass
die Störungstheorie sowieso mangels Restgliedeinschàtzungen mehr
"gucken, ob es klappt ist" ist und man ja bei kleinem \lambda auch
nciht wüsste, ob die Reihe nciht durch die Koeffizienten divergiert.

Ich sehe es allerdings so, dass man lediglich voraussetzen muss, dass
die Energien und Zustànde in \lambda analytisch sind. dann müsste die
Reihe auch konvergieren. Was hier fehlt, ist lediglich die
Restgliedabschàtzung, das ist aber viel weniger als "Wir schreiben
einfach eine Reihe an und hoffen, dass die konvergiert, auch wenn man
dafür keien Anzeichen sieht".

Oder verstehe ich da eine größere Tiefsinnigkeit im Nolting nicht? Was
meint Ihr, ist der Didaktisch sinnvollere Ansatz? Ist die
Kato-Variante einfach mehr Augenwischerei, oder ist das tatsàchlich
begründeter?

Gruß
 

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#1 Gregor Scholten
17/12/2009 - 13:52 | Warnen spam
On 17 Dez., 12:22, Daniel Gerwening wrote:
ich habe eine Frage zur zeitunabh ngigen St rungstheorie, die wir hier
lokal nicht zur allgemeinen Zufriedenheit l sen konnten.

In den Lehrb chern gibt es im wesentlichen zwei Varianten zur Einf hrung.

Der Nolting sagt

H = H_0 + H_1

Anschlie end geht er ber zu

H = H_0 + \lambda H_1 mit 0 <= \lambda <= 1

\lambda ist dabei ein Parameter der die St rung "ein- bzw.
ausschaltet" und im Endeffekt 1 gesetzt wird.

Andere B cher (z.B. "Pertubation Theory of Linear Operators" von T.
Kato) gehen direkt von

H = H_0 + \lambda H_1

aus. dabei ist \lambda<<1 und \lambda H_1 ist die die St rung.



ich kenne mich zwar eher mit der zeitabhàngigen statt der
zeitunabhàngigen Störungsrechnung aus, würde aber darauf tippen, dass
das lambda << 1 in der Kato-Version einfach bedeuten soll, dass die
Störung sehr klein ist, der Einfluss von lambda H_1 somit viel kleiner
als der von H_0. Also:

H_1(Nolting) = lambda(Kato) H_1(Kato)

und das lambda(Nolting), d.h. das Einschalten der Störung, kommt bei
Kato gar nicht vor.
Deswegen macht eine Identifikation wie diese:

ist, w hrend im Kato-Fall

H_1 = (3/2 - R/r - r^2/R^2)

und

\lambda = e^2/(4 \pi \epsilon_0 R)



wenig Sinn. Es ist einfach

lambda(Kato) H_1(Kato) = e^2/(4 \pi \epsilon_0 R) (3/2 - R/r - r^2/R^2)

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