Gültigkeit einer Herleitung

27/02/2008 - 16:29 von Roman Töngi | Report spam
Die geschlossene Form einer aritmethischen Reihe ist ja:

S_n = 1 + 2 + ... + n = n*(n+1)/2

Dies kann man z.B. folgendermassen herleiten:

S_n + S_n = 1 + 2 + ... + n
+ n + n-1 + ... + 1

= (n+1)+(n+1)+ ... + (n+1) (n Summanden)
= n(n+1)

2*S_n = n*(n+1) <-> S_n = n*(n+1)/2


Meine Frage nun:

Diese Formel làsst sich einfach mit vollstàndiger Induktion beweisen,
aber ist dies überhaupt nötig?

Gilt die obige, folgerichtige, algebraische Herleitung tatsàchlich als Beweis?
Die Auslassung lassen sich ja auch mit der Sigma-Notation vermeiden, falls diese
das Problem wàren, wobei dies ja auch nur eine implizite Darstellung ist und keine
Verbesserung darstellt, oder?

Falls vollstàngige Induktion nötig ist, hat es damit zu tun, dass man sich bei
der Induktion nur auf geschlossene Formeln abstützen kann?
Habe also prinzipielle Probleme.





Vielen Dank
 

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#1 Johannes Kloos
27/02/2008 - 17:18 | Warnen spam
Hallo Roman,

Roman Töngi wrote:
Die geschlossene Form einer aritmethischen Reihe ist ja:

S_n = 1 + 2 + ... + n = n*(n+1)/2

Dies kann man z.B. folgendermassen herleiten:

S_n + S_n = 1 + 2 + ... + n
+ n + n-1 + ... + 1

= (n+1)+(n+1)+ ... + (n+1) (n Summanden)
= n(n+1)

2*S_n = n*(n+1) <-> S_n = n*(n+1)/2


Gilt die obige, folgerichtige, algebraische Herleitung tatsàchlich als Beweis?
Die Auslassung lassen sich ja auch mit der Sigma-Notation vermeiden, falls diese
das Problem wàren, wobei dies ja auch nur eine implizite Darstellung ist und keine
Verbesserung darstellt, oder?


Na ja, Knuth macht das genau so. Die Induktion wàre nur ein weiterer
Nachweis.

Gruß
Johannes

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