[H, L²] = 0?

18/10/2007 - 18:42 von Michael Noetgen | Report spam
Hallo Leute!

Wie zeigt man das?

Obige Gleichung bedeutet ja, daß L² eine Erhaltungsgröße ist
(Heisenberg-Gleichung), daß es laut Noether also eine konti-
nuierliche Symmetrie geben muß. Geht das dann also über in-
finitesimale Drehungen, die ja L erzeugt?

Wie hàngt das alles zusammen?

Verwirrte Grüße
Michael
 

Lesen sie die antworten

#1 Hendrik van Hees
19/10/2007 - 03:49 | Warnen spam
Michael Noetgen wrote:

Hallo Leute!

Wie zeigt man das?

Obige Gleichung bedeutet ja, daß L² eine Erhaltungsgröße ist
(Heisenberg-Gleichung), daß es laut Noether also eine konti-
nuierliche Symmetrie geben muß. Geht das dann also über in-
finitesimale Drehungen, die ja L erzeugt?



Ich nehme an, Du hast ein spinloses Teilchen in einem Zentralpotential
(z.B. im Coulombpotential) und L ist sein Bahndrehimpuls.

Du kannst freilich einfach brute force rechnen, also mit der
Heisenbergalgebra

[x_j,p_k]=i \hbar \delta_{jk} anfangen und die Definition

\vec{L}=\vec{x} \times \vec{p}

mit H kommutieren. Dabei muß

H=p^2/(2m)+V(r)

sein, damit Drehimpulserhaltung gilt. Du kannst übrigens beweisen, daß
sogar \vec{L} selbst erhalten ist und damit auch \vec{L}^2.

Der Zusammenhang mit dem Noethertheorem ist der, daß die kovariante
Zeitableitung einer nicht explizit zeitabhàngigen Observablen durch

D_t O=i/\hbar [O,H]

gegeben ist. Dies ist eine der Grundgleichungen der Quantentheorie und
definiert die physikalische Bedeutung des Hamiltonoperators, Erzeuger
für Zeittranslationen zu sein. Sie erfàhrt ihre Rechtfertigung u.a.
durch das Ehrenfestsche Theorem, demzufolge

d/dt <O>=<D_t O>

ist, wo die Mittelwertbildung bzgl. irgendwelcher Zustànde (rein oder
gemischt) erfolgen kann.

Eine nicht explizit zeitabhàngige Observable O ist demnach dann und nur
dann Erhaltungsgröße, wenn der dazugehörige Operator mit H kommutiert.


Hendrik van Hees Texas A&M University
Phone: +1 979/845-1411 Cyclotron Institute, MS-3366
Fax: +1 979/845-1899 College Station, TX 77843-3366
http://theory.gsi.de/~vanhees/faq mailto:

Ähnliche fragen