harmonische Balance

29/08/2007 - 12:39 von Christian Schmitt | Report spam
Hallo Leute,

ich habe hier folgendes in einem Buch entdeckt (K.Magnus -
Schwingungen), es geht dabei um einen nichtlinearen Fremderregten
Schwinger mit kubischer Rückstellkraft (Duffing-Schwinger) der Form

m*x''+d*x'+c*x+f(x)=A*cos(OMEGA*t)

wobei f(x)=x^3 ist

<Zitat>

Die Grundannahme des Verfahrens der harmonischen Balance besteht darin,
daß die Schwingung als nàherungsweise harmonisch vorausgesetzt wird.

x=A*cos(omega*t) (2.107)

Geht man mit diesem Ansatz in die nichtlineare Rückführfunktion f(x)
ein, so wird auch diese eine periodische Funktion der Zeit, und zwar mit
der gleichen Kreisfrequenz omega wie in (2.107). Diese periodische
Funktion wird nun in eine Fourier-Reihe zerlegt:

f(x)=f(A*cos(omega*t))=a0+SUM[a_j*cos(j*omega*t)+b_j*sin(j*omega*t)]

a_j und b_j sind darin die bekannten Fourier-Koeffizienten. Wegen der
Voraussetzung [daß f(x)=-f(-x) und f(0)=0 (2.106)] werden im
vorliegenden Fall alle Koeffizienten b_j sowie auch der konstante
Koeffizient a0 zu Null.

<Zitatende>

Hier liegt jetzt mein Problem: wird nicht normalerweise bei ungeraden
Funktionen wie in diesem Falle mein a_j zu Null? Oder habe ich irgend
etwas übersehen? Die Rechnung in dem Buch geht jedenfalls mit b_j=0
weiter und das Schluß-Ergebnis ist auch korrekt. Versuche ich jedoch a_j
zu nullen und mit dem Sin-Term weiter zu rechnen, haue ich irgendwann
gegen eine Wand.
Kann mir jemand vom Schlauch helfen?

Danke
Gruß Chris
 

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#1 Alois Steindl
29/08/2007 - 13:56 | Warnen spam
Christian Schmitt schrieb:
Hallo Leute,

ich habe hier folgendes in einem Buch entdeckt (K.Magnus -
Schwingungen), es geht dabei um einen nichtlinearen Fremderregten
Schwinger mit kubischer Rückstellkraft (Duffing-Schwinger) der Form

m*x''+d*x'+c*x+f(x)=A*cos(OMEGA*t)

wobei f(x)=x^3 ist

<Zitat>

Die Grundannahme des Verfahrens der harmonischen Balance besteht darin,
daß die Schwingung als nàherungsweise harmonisch vorausgesetzt wird.

x=A*cos(omega*t) (2.107)

Geht man mit diesem Ansatz in die nichtlineare Rückführfunktion f(x)
ein, so wird auch diese eine periodische Funktion der Zeit, und zwar mit
der gleichen Kreisfrequenz omega wie in (2.107). Diese periodische
Funktion wird nun in eine Fourier-Reihe zerlegt:

f(x)=f(A*cos(omega*t)) +SUM[a_j*cos(j*omega*t)+b_j*sin(j*omega*t)]

a_j und b_j sind darin die bekannten Fourier-Koeffizienten. Wegen der
Voraussetzung [daß f(x)=-f(-x) und f(0)=0 (2.106)] werden im
vorliegenden Fall alle Koeffizienten b_j sowie auch der konstante
Koeffizient a0 zu Null.

<Zitatende>

Hier liegt jetzt mein Problem: wird nicht normalerweise bei ungeraden
Funktionen wie in diesem Falle mein a_j zu Null? Oder habe ich irgend
etwas übersehen? Die Rechnung in dem Buch geht jedenfalls mit b_j=0
weiter und das Schluß-Ergebnis ist auch korrekt. Versuche ich jedoch a_j
zu nullen und mit dem Sin-Term weiter zu rechnen, haue ich irgendwann
gegen eine Wand.
Kann mir jemand vom Schlauch helfen?

Danke
Gruß Chris


Hallo,
die zitierte Begründung kann ich auch nicht recht nachvollziehen, aber
für dieses konkrete f(x) siehst du leicht, dass
f(A*cos(omega*t)) = A^3*cos^3(omega*t) = A^3*(3 cos(omega*t) +
cos(3*omega*t))/4
gilt.
Bezüglich Deiner Verwirrung: In diesem Fall ist f(x) zwar
schiefsymmetrisch in x, aber mit x=A*cos(omega*t) gerade in der Zeit! Es
sollten daher keine sin(j*omega*t)-Terme auftreten.
Schau dir mal an, wie die Fourierentwicklung z.B. für f(x)=x^2 lauten
müsste.

Alois

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