Harmonischer Oszillator

12/12/2007 - 11:12 von Daniel Arnold | Report spam
Hallo zusammen

Kann mir jemand eine Quelle angeben, wo der zweidimensionale harmonische
Oszillator vollstàndig in Polarkoordinaten gelöst wird?

Viele Grüsse, Daniel
 

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#1 Roland Franzius
12/12/2007 - 19:42 | Warnen spam
Daniel Arnold schrieb:
Hallo zusammen

Kann mir jemand eine Quelle angeben, wo der zweidimensionale harmonische
Oszillator vollstàndig in Polarkoordinaten gelöst wird?



Das geht für den isotropen Fall (knapp) so:

H = 1/2 hquer omega (px^2 + py^2 + x^2 +y^2)

Polarkoordinaten

H = 1/2 hquer omega (-1/r d_r r d_r - 1/r^2 d_phi^2 + r^2)

-i d_phi ist kommutiert mit H, Eigenfunktion e^(i m phi ), Eigenwert m
ganzzahlig .

Bleibt die Radialgleichung als eigenwertgleichung zu lösen
(-d_r^2 - 1/r d_r + (|m|/r + r)^2 ) psi(r) = (4n-2) psi(r)

Dabei sind Drehimpuls und Potential zu einem Quadrat zusammengefaßt und
dafür eine Konstante 2|m| von rechts zum eigentlichen Eigenwert
2k = (4n-2-2|m|) der Gesamtenergie addiert

mit m ganz, k=1,2,3...

Die bei r=0 endliche Lösung ist für beliebiges |m| ist

psi(r)=e^(-r^2/2) r^|m| LaguerreL[-n,|m|,r^2])

Die Laguerre-Funktionen wachsen als hypergeometrische Reihen
exponentiell wie e^(r^2) für r->oo.

Die Funktion liegt genau dann im Hilbertraum L^2(R_+ ,r dr), wenn der
erste Parameter -n eine negative ganze Zahl ist. Dann bricht die Reihe
mit einem Faktor 0 Im Pochhammersymbol im Zàhler ab und man erhàlt
alterniernde Laguerrepolynome in r^2 mit Faktor r^m e^(-r^2/2). Das sind
tatsàchlich Linearkombinationen von Produkten von Hermitepolynomen in
zwei Variablen.

Die Eigenfunkitonen sind
psi_nm(r,phi)~e^(-r^2/2) r^|m| LaguerreL[-n,|m|,-r^2])e^(i m phi)

Die Eigenwerte sind

E_nm = hquer omega (2n-|m| -1)>= hquer omega, n >=|m|/2+1 ganz, m ganz

da der Operator positiv ist und der minimale Eigenwert der von zwei
unabhàngigen Oszillatoren.

Hier habe ich noch ein Link mit Bild vom Spektrum gefunden

http://physics.nmt.edu/~raymond/classes/ph340/tex/ho2/ho2.ps


Roland Franzius

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