Harmonisches Lineal

10/01/2008 - 11:55 von Rainer Rosenthal | Report spam
Ich möchte eine Folge beim Zahlenfolgenarchiv OEIS
einreichen, die mit den harmonischen Zahlen

H_n = 1 + 1/2 + ... + 1/n

zu tun hat. Für m > n kann man die Differenz H_m - H_n
als Abstand auf einem mit den H_n markierten Lineal
interpretieren. Mich hat bei einer làngeren Bahnfahrt
die Frage beschàftigt, wieviele Marken auf die Lànge 1
entfallen, wenn man irgendwo auf dem Lineal misst.

Ein Bild sagt mehr als 1000 Worte:

# Bei H_n lege ich ein Lineal an und bei Abstand 1 schaue ich,
# welches H_m gerade noch überdeckt wurde:
#
#
# H H H ... H
# n n+1 n+2 m
# --o-++-- ... --+-o
# \______________ ______________/
# \/
# Length 1
#
# Meine neue Folge b(n): b(n) ist das maximale m
# für das H_m - H_n <= 1.
#

Diese Veranschaulichung könnte auch einen guten Namen für die
neue Folge abgeben:

Length 1 on the harmonic ruler.

Bei Vorgespràchen in der SeqFan-Mailingliste habe ich bereits
grossartiges Feedback von David Cantrell erhalten, der eine
blitzschnelle Formel zur Ermittlung von b(n) geliefert hat:

b(n) = floor( e*n + (e-1)/2 + (e - 1/e)/(24*(n + 1/2)))

Ich fànde es prima, wenn ich bei meiner Folgen-Einreichung auf
entsprechende Literatur verweisen könnte. Meine Suche nach
"harmonic ruler" war etwas spekulativ, hat aber - wie alle diese
Websuchen - faszinierende Gebiete gezeigt. Die "Weyl Summen" und das
"Weyl differencing" kamen der Idee ein wenig nahe, sind aber doch
wohl was komplett anderes.

Ich freue mich über Rückmeldungen, so dass evtl. bei der Einreichung
gleich was Interessantes mitgeteilt werden kann. Es gibt natürlich
bereits hübsche Folgen im OEIS zum Thema:
A002387, A0118050, A0118051, A081881

Auf diese Folgen werde ich selbstverstàndlich hinweisen. Und auch
darauf, dass David Cantrell seine Zauberformel mit der gleichen
Heuristik gefunden hat, mit der er bereits in A002387 unterwegs war.

Ich habe mich nun schon einige Tage mit dem Thema befasst, aber
erst heute ist mir der Lineal-Bezug eingefallen. Und dsm und
Lineale - das ist ein herrliches Thema :-)

Gruss,
Rainer Rosenthal
r.rosenthal@web.de
 

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#1 Hero
15/01/2008 - 10:22 | Warnen spam
Rainer schrieb:

Ich habe mich nun schon einige Tage mit dem Thema befasst, aber
erst heute ist mir der Lineal-Bezug eingefallen. Und dsm und
Lineale - das ist ein herrliches Thema :-)



Das ist ja wieder hochinteressant, so ein harmonisches Lineal.
Irgendwo im alten Ägypten gab es so ein Lineal mit Marken bei
1/2, ..., ich glaube man maß Winkel als Proportion, als Steigung, als
tangens damit.
Leider kann ich zu Deinem harmonischen Lineal nicht mehr sagen, als
daß ich Dir wünsche, daß Du einen Maßstab entdeckst, mit dem man
Lineale selbst messen, vergleichen, aufeinander beziehen kann.
Ist jede Folge positiver reeller Zahlen ein Lineal?

Bei der Betrachtung der quadratischen Lineale, der Punktgitter ( warum
fàllt mir dazu das Wort Nagelbrett ein ?)
ergibt sich eine Doppelfolge.
Kennst Du die, bzw kannst Du die in OEIS nachsehen.
Analytisch ist das Punktgitter ZxZ und ich betrachte dies jetzt als
Zwiebel:
ein Punkt fix als Ursprung, in einem Kreis von Lànge 0 liegt 1 Punkt.
Vergrössert bis Lànge 1 gibt 5 Punkte darin,
weiter vergrössert gibt Lànge sqrt 2 mit 9 Punkten darin, usw.
Folge Punkte : 1, 5, 9,
Folge Radien: 0, 1, sqrt 2, ...
Ergibt sich natürlich die Frage, nach welcher Formel rechnet man
weiter?
Wo ist jetzt der nàchstdichte Punkt, auf einer waagerechten, auf einer
Diagonalen, oder wie entwickelt sich dies?

Da denkt man, man kennt so ein simples Gitter, quadratisch, praktisch,
gut, guckt man dagegen mal mit runden Augen die Punkte an, da bekommt
man erst richtig runde Augen und wundert sich. Seit Erfindung des
Quaders, des Ziegelsteins ist unser Denken sehr davon dominiert
worden.
Manchmal bewundert man ja runde Formen, aber man denkt viel zu wenig
drüber nach.

Viel Spass
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