Heißluftballon

17/06/2009 - 15:03 von Daniel Gerwening | Report spam
Hallo,

ich habe Probleme bei der Lösung einer Übungsaufgabe zur
Klausurvorbereitung. Es geht um die Steighöhe eines Heißluftballons.


Aufgabe: Gaußscher Satz, Auftrieb, Archimedisches Prinzip,
hydrostatischer Druck

Ein Heißluftballonfahrer benutzt einen Ballon in der Form einer großen
Milchkuh mit dem Volumen V_B = 5000m^3. Der ballon schwebt in der
neutral geschichteten Troposphàre. Neutrale Schichtung bedeutet, dass
die Massendichte ho und die Temperatur T wie folgt von der Höhe z über
dem erdboden abhàngen:

T(z) = T_0(1-z/L) mit L),83 km (1)

ho(z) = ho_0 (1-z/L)^{2,5} mit ho_0=m p_0 / (\kappa T_0) (2)

Dabei ist \kappa \approx 1,3805 10^{-23} J/K die Boltzmannkonstante und
m \approx (28,84/6,023 10^{26})kg die mittlere Masse eines Luftmoleküls.
Es sei T_0)0K und p_000 Hektopascal

Die Ballonkonstruktion hat eine Masse von MP0kg. Auf welcher Höhe
schwebt der Ballon, wenn die Temperatur T_B(z) im innteren des Ballons
10% über der Umgebungstemperatur gahlten wird?

Anleitung: Zur Beantwortung der Frage wird z_B als Mittelwert gemàß

ho(z_B)=1/V_B \int_B dV ho(z) (3)

definiert. Allgemein ist hier die ideale Gasgleichung

ho = m p / (\kappa T) (4)

sowie die Differenzialgleichung des hydrostatischen Drucks

\partial_z p(z) = -ho(z) g (5)

zu verwenden.




Zunàchst habe ich die Gleichug für das Archimedische Prinzip aufgestellt:

ho(z_B) = ho_B(z_B) + 500kg/V_B

Mit (3,5) kann ich das ganze Mittels Gaußschem Satz zu

\int_{\partial B} p(z) \vec{e}_z d\vec{A}
= \int_{\partial B} p_B(z) \vec{e}_z d\vec{A} - 500kg/V_B g

umbauen und mit (4,5) habe ich eine DGL, deren Lösung

p(z)=p_0 exp{- m g/(\kappa T) z}

ist. Das kann ich einsetzen und könnte nun integrieren. Allerdings ist
der blöde Ballon KUHFÖRMIG. Ich nehme also an, dass die Form irgendwie
rausfallen muss und evtl. nur die Höhe des Balons enthalten bleibt oder
sowas. Auf den Schritt komme ich aber gerade nciht ... Kann jemand helfen?

Gruß
Daniel
 

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#1 Andreas Erber
17/06/2009 - 16:49 | Warnen spam
Daniel Gerwening wrote:

Allerdings ist
der blöde Ballon KUHFÖRMIG. Ich nehme also an, dass die Form irgendwie
rausfallen muss und evtl. nur die Höhe des Balons enthalten bleibt
oder sowas. Auf den Schritt komme ich aber gerade nciht ... Kann
jemand helfen?



Wieso sollte die Form des Ballons irgendeinen Einfluß auf die Steighöhe des
selbigen haben wenn die Temperatur der Luft im Ballon konstant gehalten
wird? Meiner Meinung nach ist die Völlig egal und es kommt einzig und
alleine darauf an das die Masse der verdàngten Luft genauso groß sein muß
wie die Masse des Ballons. Alles andere it nutzloses Beiwerk in der Aufgabe
und dient nur dazu den armen Schüler zu verwirren.

LG Andy

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