Herleitung des magnetischen Dipol-Moments

30/01/2009 - 22:46 von Alexander Erlich | Report spam
Hallo,

ich versuche, die folgende Herleitung des magnetischen Dipolmoments
nachzuvollziehen: http://www.airlich.de/MagnetischerDipol.pdf

Bis zu der Zeile "Dipol-Vektor-Potential" auf der 2. Seite ist alles
klar. Doch danach kommen einige Hilfssàtze, die mir nicht klar sind,
bis schließlich zu der Zeile, wo "2 Rechenzeilen" steht. Für ein Paar
Tipps, was dort geschieht, wàre ich dankbar; vielleicht reichen schon
einige Worte, dass der Groschen fàllt.

Gruß
Alexander
 

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#1 Tobias Baumann
30/01/2009 - 23:23 | Warnen spam
Alexander Erlich schrieb:
Hallo,

ich versuche, die folgende Herleitung des magnetischen Dipolmoments
nachzuvollziehen: http://www.airlich.de/MagnetischerDipol.pdf

Bis zu der Zeile "Dipol-Vektor-Potential" auf der 2. Seite ist alles
klar. Doch danach kommen einige Hilfssàtze, die mir nicht klar sind,
bis schließlich zu der Zeile, wo "2 Rechenzeilen" steht. Für ein Paar
Tipps, was dort geschieht, wàre ich dankbar; vielleicht reichen schon
einige Worte, dass der Groschen fàllt.

Gruß
Alexander



Hi

Ich habe gerade in meinem Theo Skript von letztem Jahr nachgeschaut und
das ist mit Abstand der làngste und undurchschaubarste Beweis der ganzen
Vorlesung gewesen. Ich hab versucht das mal nachzuvollziehen und mir das
zurecht getippt. Ich gib mal kurz eine Beweisskizze wie das bei uns in
der Vorlesung war. (d\vec{r}' bedeutet in Volumenintegral bezüglich r',
und die Gleichungen sind im Gaußschen CGS System):

1.) Taylorentwicklung von 1/|r - r'| = 1/r + r \cdot r' / r^3 + ... in
das Vektorpotential einsetzen. Durch die Additivitàt des Integrals
erhàlt man einen Dipolterm und einen Monopolterm.

2.) Allgemein gilt für zwei nicht singulàre skalare Funktionen f(r'),
g(r') und der Stromdichte j(r') die Gleichung:

\int (f j \cdot abla g + g j \cdot abla f) d\vec{r}' = 0

Den Beweis hab ich damals nciht nachvollzogen und hab einfach die
Gleichung so hingenommen. Man findet das aber zum Beispiel im Nolting 3.

3.) Der Monopolterm. Durch die Wahl von f = 1 und g = x'_k kann man
zeigen das A_k cr = 0 und damit A_k = 0. Die Komponenten des
Vektorpotentials sind für den Monopolterm also 0.

4.) Der Dipolterm. Mit f = x'_i und g = x'_k und der obigen Gleichung
kann man die Beziehung zeigen:

\int x'_i j_k d\vec{r}' = - \int x'_k j_i d\vec{r}'

Dies eingesetzt in dem Dipolterm der Taylorentwickelten
Integralgleichung ergibt:

-1/2 (r \cdot \int \int j x'_k d\vec{r}' - r \cdot \int r' j_k d\vec{r}')

5.) Mit der Grassmann Identitàt gilt: r \times r' \times j = r \cdot j
r' - r \cdot r' j. Setzt man dies in die letzte Inetgralgleichung ein
erhàlt man:

A = -1/(2cr^3) r \times \int r' times j d\vec{r}'

und eben mit der Definition von m:

A = -1/(r^3) r \times m

(Achtung Gauß CGS).

Ich kanns auch gerne mal als PDF rausrücken.

Gruß Tobias

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