Hilfe bei Cantors 2. Diagonalargument!

06/05/2011 - 12:04 von Yal el Tanim | Report spam
Hallo liebe Mathematik-Experten!

Auch ich habe ein Verstàndnisproblem mit Cantors 2. Diagonalargument,
wobei ich im Gegensatz zu manchen anderen hier glaube dass das meinen
limitierten Mathekenntnissen zuzuschreiben ist.
Es ist mir ebenso bewusst, dass es noch andere Beweise fur den
Unterschied zwischen abzàhlbaren und überabzàhlbaren Mengen gibt - ich
möchte mich aber hier auf Cantors 2. Diagonalargument beschrànken. Ich
wàre für eure Hilfe ungemein dankbar!

Mein Problem resultiert aus Analogie-Überlegungen, wie man eine Cantor-
àhnliche Konstruktion auf die natürlichen Zahlen anwenden würde -
wobei das Ergebnis anders ausfallen sollte.

Hierbei ist es bei zwei beliebigen endlichen Folgen von i Elementen
von reellen / natürlichen Zahlen so, dass man für beide ein bisher
nicht erfasstes Element konstruieren kann. Bei reellen Zahlen erfolgt
dies mittels Cantors Methode, bei natürlichen Zahlen durch Ermittelung
des höchsten Elementes der Folge - dies benötigt eine definierte
Anzahl an Operationen - und dann (bisher nicht erfasstes
Element):=(höchstes Element)+1.

Nun ist das ja bei unendlichen Folgen anscheinend unterschiedlich: Für
natürliche Zahlen soll ein neues Element außerhalb der "schon
abgezàhlten Elemente" nicht mehr konstruierbar sein, für reelle
hingegen schon.

Also muss meines Erachtens eine vollstàndige Induktion, mit der man
den Übergang von der Konstruktion eines neuen Elementes aus oben
erwàhnten endlichen reellen / natürlichen Folgen zu der Konstruktion
aus unendlichen Folgen durchführt, bei den natürlichen Zahlen
scheitern. Wie das? Bei natürlichen Zahlen scheint mir die
Konstruktion doch immer noch zu funktionieren, egal wie weit ich die
Liste erweitere i+1,i+2,... i+N, N-> unendlich per Induktion? Wieso
scheitert meine Konstruktionsmethode beim induktiven Übergang zu einer
unendlichen Folge in N? Und wieso gleichzeitig Cantors nicht?

Vielen Dank & mit freundlichen Grüßen!
Yal el Tanim
 

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#1 Albrecht
06/05/2011 - 13:16 | Warnen spam
On 6 Mai, 12:04, Yal el Tanim wrote:
Hallo liebe Mathematik-Experten!

Auch ich habe ein Verstàndnisproblem mit Cantors 2. Diagonalargument,
wobei ich im Gegensatz zu manchen anderen hier glaube dass das meinen
limitierten Mathekenntnissen zuzuschreiben ist.
Es ist mir ebenso bewusst, dass es noch andere Beweise fur den
Unterschied zwischen abzàhlbaren und überabzàhlbaren Mengen gibt - ich
möchte mich aber hier auf Cantors 2. Diagonalargument beschrànken. Ich
wàre für eure Hilfe ungemein dankbar!

Mein Problem resultiert aus Analogie-Überlegungen, wie man eine Cantor-
àhnliche Konstruktion auf die natürlichen Zahlen anwenden würde -
wobei das Ergebnis anders ausfallen sollte.

Hierbei ist es bei zwei beliebigen endlichen Folgen von i Elementen
von reellen / natürlichen Zahlen so, dass man für beide ein bisher
nicht erfasstes Element konstruieren kann. Bei reellen Zahlen erfolgt
dies mittels Cantors Methode, bei natürlichen Zahlen durch Ermittelung
des höchsten Elementes der Folge - dies benötigt eine definierte
Anzahl an Operationen - und dann (bisher nicht erfasstes
Element):=(höchstes Element)+1.

Nun ist das ja bei unendlichen Folgen anscheinend unterschiedlich: Für
natürliche Zahlen soll ein neues Element außerhalb der "schon
abgezàhlten Elemente" nicht mehr konstruierbar sein, für reelle
hingegen schon.

Also muss meines Erachtens eine vollstàndige Induktion, mit der man
den Übergang von der Konstruktion eines neuen Elementes aus oben
erwàhnten endlichen reellen / natürlichen Folgen zu der Konstruktion
aus unendlichen Folgen durchführt, bei den natürlichen Zahlen
scheitern. Wie das? Bei natürlichen Zahlen scheint mir die
Konstruktion doch immer noch zu funktionieren, egal wie weit ich die
Liste erweitere i+1,i+2,... i+N, N-> unendlich per Induktion? Wieso
scheitert meine Konstruktionsmethode beim induktiven Übergang zu einer
unendlichen Folge in N? Und wieso gleichzeitig Cantors nicht?

Vielen Dank & mit freundlichen Grüßen!
Yal el Tanim



Der Grundgedanke bei Cantors zweitem Diagonalargument ist der, dass
ein unendliche Liste (oder Folge) vorliegt (und zwar komplett). Unter
annahme des Axiom of Infinity (AoI) liegen die natuerlichen Zahlen als
unendliche Menge (und damit auch Folge/Liste) vor. Als weitere
Konsequenz des AoI gibt es keine natuerliche Zahl, die nicht in der
unendlichen Liste aller natuerlichen zahlen enthalten sei. Folglich
laesst sich auch auf keiner weise eine weiter natuerliche Zahl
erzeugen, alle sind schon in der Folge 1, 2, 3, ... enthalten.

Cantors Argument geht nun so: egal, welche Liste reeller Zahlen man
heranzieht, man kann immer durch das Diagonalverfahren mindestens eine
weitere reelle Zahl erzeugen die nicht in dieser Liste enthalten sei.
Moeglich ist dies, da reelle Zahlen als Stellenwertzahlen mit
unendlich vielen Stellen nach dem Komma definiert sind. Offenbar sind
die Moeglichkeiten eines unendlichstelligen Stellensystems
unausschoepflich. Konsequenz dieser Logik ist aber wiederum, dass es
(unsagbar viel) mehr reelle Zahlen geben soll als man bennen,
beschreiben, berechnen, konstruieren, kennen, ... kann.

Obiges war Standardmathematik. Hier nun meine Sicht: Die uebliche
Definition der reellen Zahlen ist unsinnig. Verschiedene
Unendlichkeiten (aleph_0, aleph_1, ...) sind einfach nur Quatsch.

Gruss
Albrecht

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