Hilfe: Wie ist die Vollständige Induktion Mengentheo definiert?

16/02/2013 - 04:56 von Fritz Wuehler | Report spam
Kann mir jemand erklàren, wie di VI mengentheoretisch definiert ist?
Und wie die Transinfinite Induktion?
 

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#1 Christopher Creutzig
21/02/2013 - 18:40 | Warnen spam
On 2/16/13 4:56 AM, Fritz Wuehler wrote:
Kann mir jemand erklàren, wie di VI mengentheoretisch definiert ist?



„Definiert“ ist vielleicht etwas viel gesagt. Sie làsst sich aber aus
der Definition der natürlichen Zahlen erklàren:

Sei M die Menge derjenigen natürlichen Zahlen n, für die die Aussage
A(n) wahr ist. VI zeigt nun:

I.) A(0) ist wahr. (Also gilt I': 0 e M.)
II.) Wenn A(n) wahr ist, ist auch A(n+1) wahr.
(Also gilt II': (n e M) -> (n+1 e M).)

Nach der mengentheoretischen Definition der natürlichen Zahlen gilt aber
für jede Menge M, für die I' und II' gelten: N ist Teilmenge von M. (N
ist die Menge der natürlichen Zahlen; da wir M als Menge natürlicher
Zahlen gewàhlt haben, ist insbesondere M=N.) Also gilt A(n) für jede
natürliche Zahl n.

Und wie die Transinfinite Induktion?



Transfinit, ohne „in“.

Grundsàtzlich genauso – nur der Beweis, dass die wohlgeordnete Menge,
über deren Elemente etwas gezeigt werden soll, Teilmenge der Elemente
ist, über die etwas gezeigt wurde, muss noch hinzugefügt werden. Ich
kenne nur einen Widerspruchsbeweis; das dehen die wenigsten Mathematiker
als Problem an, aber manche eben schon.

Offen gesagt, làufst Du zur Zeit nicht Gefahr,
von mir verstanden zu werden.


Das liegt aber nicht an ihm. Ich hab's aufgegeben.
(Ronald Becker und Martin Schoenbeck)

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