HOELDERSTETIGE FUNKTIONEN ... Ich brauch die Theorie, aber mein Rudin, Analysis ist geklaut

24/04/2013 - 17:08 von Gelbe Rose | Report spam
Hölderstetige Funktionen

H¨olderstetigkeit ist ein nach O. H¨older benanntes Konzept, welches besonders in der Theorie der partiellen
Differentialgleichungen von zentraler Bedeutung ist (siehe z.B. Schauder [16]).
Definition. F¨ur reelles α ∈ (0, 1) bezeichnet Ck,α(
) die Menge aller reellwertigen Funktionen der Regularit
¨atsklasse Ck(
), f¨ur welche zus¨atzlich gilt
H¨olα(Dωf) < ∞ f¨ur |ω| = k
mit der Setzung
H¨olα(f) := sup|f(x) − f(y)|
|x − y|α : x, y ∈
, x 6= y.
Eine Funktion f ∈ C0,α(
) heisst h¨olderstetig.
Im Falle α = 1 heisst die Funktion f ∈ C0,α(
) Lipschitzstetig:
|f(x) − f(y)|
|x − y| ≤ L, d.h. |f(x) − f(y)| ≤ L|x − y|
mit einer Lipschitz-Konstanten L ∈ [0,∞). H¨olderstetigkeit verallgemeinert demnach den Begriff der Lipschitzstetigkeit.
¨Ubung. Sei


R. Zeigen Sie:
(i) Jede stetig differenzierbare Funktion f auf
ist Lipschitzstetig.
(ii) Jede Lipschitzstetige Funktion f auf
ist H¨olderstetig.
(iii) Jede H¨olderstetige Funktion f auf
ist gleichm¨assig stetig.
Wie k¨onnen Sie im Fall
⊂ Rn argumentieren?
Satz. Die Menge Ck,α(
), versehen mit der Addition (f + g)(x) = f(x) + g(x) und der skalaren Multiplikation
(λf)(x) = λf(x), ist bez. der Norm
kfkCk, (
) := kfkCk(ω) + X|ω|=k
H¨olα(Dωf)
ein Banachraum.
Beweis. (Dobrowolski [20], Beweis zu Satz 2.41)
Wir zeigen die Vollst¨andigkeit von C0,α(
). Sei dazu {fj}j=1,2,... ∈ C0,α(
) eine Cauchy-Folge. Dann ist
diese Folge auch eine Cauchy-Folge in C0(
), und daher existiert ein f ∈ C0(
) mit
kfj − fkC0(
) −→ 0 f¨ur j → ∞.
Es verbleibt zu zeigen
sup
x,y∈
, x6=y
|f(x) − f(y)|
|x − y|α
< ∞.
 

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#1 Kurt
25/04/2013 - 00:26 | Warnen spam
Am 24.04.2013 17:08, schrieb Gelbe Rose:
Hölderstetige Funktionen

H¨olderstetigkeit ist ein nach O. H¨older benanntes Konzept, welches besonders in der Theorie der partiellen
Differentialgleichungen von zentraler Bedeutung ist (siehe z.B. Schauder [16]).
Definition. F¨ur reelles α ∈ (0, 1) bezeichnet Ck,α(
) die Menge aller reellwertigen Funktionen der Regularit
¨atsklasse Ck(
), f¨ur welche zus¨atzlich gilt
H¨olα(Dωf) < ∞ f¨ur |ω| = k
mit der Setzung
H¨olα(f) := sup|f(x) − f(y)|
|x − y|α : x, y ∈
, x 6= y.
Eine Funktion f ∈ C0,α(
) heisst h¨olderstetig.
Im Falle α = 1 heisst die Funktion f ∈ C0,α(
) Lipschitzstetig:
|f(x) − f(y)|
|x − y| ≤ L, d.h. |f(x) − f(y)| ≤ L|x − y|
mit einer Lipschitz-Konstanten L ∈ [0,∞). H¨olderstetigkeit verallgemeinert demnach den Begriff der Lipschitzstetigkeit.
¨Ubung. Sei


R. Zeigen Sie:
(i) Jede stetig differenzierbare Funktion f auf
ist Lipschitzstetig.
(ii) Jede Lipschitzstetige Funktion f auf
ist H¨olderstetig.
(iii) Jede H¨olderstetige Funktion f auf
ist gleichm¨assig stetig.
Wie k¨onnen Sie im Fall
⊂ Rn argumentieren?
Satz. Die Menge Ck,α(
), versehen mit der Addition (f + g)(x) = f(x) + g(x) und der skalaren Multiplikation
(λf)(x) = λf(x), ist bez. der Norm
kfkCk, (
) := kfkCk(ω) + X|ω|=k
H¨olα(Dωf)
ein Banachraum.
Beweis. (Dobrowolski [20], Beweis zu Satz 2.41)
Wir zeigen die Vollst¨andigkeit von C0,α(
). Sei dazu {fj}j=1,2,... ∈ C0,α(
) eine Cauchy-Folge. Dann ist
diese Folge auch eine Cauchy-Folge in C0(
), und daher existiert ein f ∈ C0(
) mit
kfj − fkC0(
) −→ 0 f¨ur j → ∞.
Es verbleibt zu zeigen
sup
x,y∈
, x6=y
|f(x) − f(y)|
|x − y|α
< ∞.




Ich kann das nicht lesen.
Warum schreibst du das überhaupt?

Wozu?

Nimm einfach das was existiert, dann ersparst du dir die ganze, unnötig
komplizierte, Rumrechnerei!

Gehe davon aus das nur -das Jetzt- existiert, schon fàllt so einges weg.



Kurt

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