Hooke sches Materialgesetz - beliebiege Zugrichtung?

17/05/2011 - 21:17 von Bernd | Report spam
Hallo liebe NG,

nein keine Hausaufgabe - eher ein prinzipielles Verstàndnisproblem:

Ich würde gerne die Verschiebung auf einer Kugeloberflàche aufgrund
einer Zugbeanspruchung senkrecht zur Kugeloberflàche (an einer
beliebigen Stelle) ausrechnen. Die Kugel habe zur Vereinfachung den
Radius 1 und liege im Ursprung.


n = normierte zufàllige Zugrichtung (Vektor)
delta_n = gesuchte Verschiebung (Vektor)

M = Hookesche Matrix (die 21 Elemente, Voigt-Notation)
s = Spannungsvektor (6 unabh. Elemente, Voigt Notation)
e = Verschiebungsvektor (6 unabh. Elemente, Voigt-Notation)

(MM Hookescher Tensor 4. Stufe)
(S Spannungstensor 2. Stufe)
(E Verschiebungenstensor 2. Stufe)


Ansatz:

s = M e => e = M^-1 s

Entweder Transformierung der Hookeschen Matrix in ein lokales
Koordinatensystem (Kugeloberlàche) oder Tranformierung der lokalen
Spannung in das globale KOS, Berechnung der Verschiebung.

lokales KOS:

n _|_ n2 _|_ n3 => e1_lokal , e2_lokal e3_lokal
(generierung eines Dreibeins)

T = (n, n2, n3) Transformationsmatrix
T * v_lokal = v_global (Basiswechsel lokal -> global)
T^t * v_global = v_lokal (Basiswechsel global -> lokal)

S_lokal = (1 0 0, 0 0 0, 0 0 0) ? in Richtung n ?

sollte das stimmen, so wàre doch eigentlich

S_global = (n , 0 , 0)

mit s = (S_11; S_22; S_33; S_12; S_13; S_23)

könnte man ja dann (so dachte ich) via:

e = M^-1 s = (E_11; E_22; E_33; 2 E_12; 2 E_13; 2 E_23) => E

delta_n = E n

ausrechnen.

Wenn ich das mache und delta_n über n auftrage (bzw. n + delta_n
plotte)
bekomme ich seltsame Ergebnisse für isotrope / kubische Hookesche
Matrizen. Ich scheine also prinzipiell etwas falsch zu machen. Könnte
mir vlt. jemand auf die Sprünge helfen?


Vielen Dank
Bernd
 

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#1 Lothar Brendel
18/05/2011 - 16:11 | Warnen spam
Bernd wrote:

[...]

lokales KOS:

n _|_ n2 _|_ n3 => e1_lokal , e2_lokal e3_lokal
(generierung eines Dreibeins)

T = (n, n2, n3) Transformationsmatrix
T * v_lokal = v_global (Basiswechsel lokal -> global)
T^t * v_global = v_lokal (Basiswechsel global -> lokal)



Kannst Du mal mündlich formulieren, woran die Achsen des lokalen KOS'
ausgerichtet sein sollen?


S_lokal = (1 0 0, 0 0 0, 0 0 0) ? in Richtung n ?



Was soll der Zusatz "in Richtung n" bedeuten? Die Angabe der Komponenten
des Spannungstensors legt (bei gegebener Basis) den Spannungszustand
doch schon vollstàndig fest.


sollte das stimmen, so wàre doch eigentlich

S_global = (n , 0 , 0)



Nein. Das ist ein ziemlich seltsamer (Nichtgleichgewichts-)Spannungszustand.

Grüße
Lothar

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