Hyperbolische Geometrie verschiedene Modelle

18/01/2008 - 01:39 von Robert Hartmann | Report spam
Hallo zusammen,

Ich habe einige Fragen zur hyperbolischen Geometrie,
Zunàchst die Fragensammlung zum schnellen Überblick,
der ausführlichere Text steht dann unten :-):

- Wie sind die Metrik in der Poincaré-Scheibe,
kleinschen Scheibe, im Modell der oberen Halbebene
definiert? Wie funktioniert die Abstandsbestimmung?

- Wie funktioniert die Winkelmessung in der kleinschen Scheibe?
Ist es evtl unsinnig.

- Ist die Abbildung der hyperbolischen Ebene in die
das Modell der oberen Halbebene winkelerhaltend?
Meine Vermutung ist ja.

- Wie finde ich eine passende Möbiustransformation
für Rotation und Translation von Punkten
(eigentlich eines bestimmten hyperbolischen Dreiecks)
in der Poincaré-Scheibe, in der kleinschen Scheibe
und im Modell der oberen Halbebene?

- Ist im Minkowski Modell eine Transformation von einer
Menge von Punkten möglich, die den Abstand aller Punkte zueinander
beibehàlt und einen speziellen Punkt "verschiebt"?
Geht so etwas mit einer Lorentz-Transformation
(die Rotation um eine Achse làßt sich wohl damit beschreiben)?


Ich bin inzwischen doch recht verwirrt, und komme trotz
intensivem Lesens von Literatur nicht über
rumprobieren heraus. Gelungen ist mir wenn auch nicht schön,
die Konstruktion eines speziellen hyperbolischen Dreiecks
im Minkowski-Modell, mit der Dreieckseigenschaft, dass
alle Innenwinkel den Wert (2*Pi/n) haben. Es soll ein regulàres
hyperbolisches Dreiecksnetz konstruiert werden mit der Eigenschaft,
dass n hyperbolische Dreiecke (die Summe der Innenwinkel eins
hyp. Dreiecks ist stets kleiner als 2*Pi) an einem Dreieckspunkt
inzidieren.



Es gibt diverse euklidische zwei Dimensionale
Modelle für die Darstellung von hyperbolischen
Flàchen, als Beispiele seinen die Scheiben-Modelle
von Klein und Poincaré sowie das ebenfalls
von Poincare stammende Modell der Obere-Halb-Ebene

In der kleinschen Scheibe werden hyperbolische
Geraden auf euklidische Geraden (Geradenteile) abgebildet,
die Abbildung ist nicht winkelerhaltend.
Die Entfernungsmessung, die Bestimmung
des Abstandes, von zwei verschiedenen Punkten
zueinander in der kleinschen Scheibe kann
nur nicht euklidisch sein, denn die Randpunkte
der Einheitsscheibe (Scheibe mit euklidischem Radius 1),
das sind die Punkte mit euklidischem Abstand 1
vom Ursprung oder Zentrum oder Mitte der Scheibe,
entsprechen den unendlich fernen Punkten oder dem Unendlichen.

In der Poincaré-Scheibe werden hyperbolische
Geraden auf euklidische Kreisbögen (Kreisbogensegmente)
abgebildet, die die Einheitsscheibe im rechten Winkel
scheiden. (=> Hyperbolische Geraden durch den Ursprung
werden so auf Kreisbögen mit Radius unendlich abgebildet,
das sind euklidische Geraden durch den Ursprung,
die eben durch den Rand der Scheibe beschrànkt werden.)
Die Abbildung ist winkelerhaltend, d.h. sind a und b
zwei hyperbolische Geraden, C ein Punkt auf a und b,
und p(a) sowie p(b) die Abbildung der Geraden in die Poincaré-Scheibe,
dann gilt für den hyperbolischen Winkel zwischen a und b
im Punkt C, dass er genauso groß ist wie der euklidische
Winkel der beiden Tangenten an p(a) und p(b) im zu C
korrespondierenden Punkt der Poincaré-Scheibe. (Es ist also
eine konforme Abbildung). Die Abstandsbestimmung zwischen
zwei Punkten in der Poincaré-Scheibe kann ebenfalls nur nicht
euklidisch sein.

Beim poincaréschen Modell der oberen Halbebene (upper half plane),
werden hyperbolische Geraden entweder auf euklidische Geraden
euklidisch parallel zur y-Achse (in einem karthesischen
Koordinatensystem) oder auf Kreisbögen, die die x-Achse schneiden,
abgebildet.

In diesen drei 2D-Modellen lassen sich wohl Translation und Rotationen
von Punkten (und Dreiecken) durch Möbiustransformationen erreichen.
Allerdings scheitere ich bei der praktischen Umsetzung, beim
Auffinden der entsprechenden Variablenbelegungen.



Das Minkowski-Modell ist ein 3D-Modell der hyperbolischen Ebene.
Hyperbolische Punkte werden hier auf die "Oberflàche" eines
"Minkowski-Schüssel-Kegels" abgebildet, das sind alle Punkte
des R^3 mit der Eigenschaft x^2+y^2-z^2=-1. Hyperbolische
Geraden werden auf Großhyperbeln abgebildet.

Für X = (x_1,x_2,x_3)^T , Y = (y_1,y_2,y_3)^T ist
Minkowski-(Pseudo-Skalar-)Produkt:
<<x,y>> = (x_1*y_1)+(x_2*y_2)-(x_3*y_3)

Der hyperbolische Abstand dh(P,Q) zwischen zwei Punkten P und Q
der hyperbolischen Ebene wird mit dem
Minkowski-(Pseudo-Skalar-)Produkt bestimmt:
cosh(dh(P,Q))=|<<P,Q>>|= - <<P,Q>>
Damit ergibt sich die Abstandsbestimmung auf dem
"Minkowski-Schüssel-Kegel" als
dh(P,Q)=arcosh(- <<P,Q>>)= arcosh(- ( (p_1*q_1)+(p_2*q_2)-(p_3*q_3) ) )

Die abstands- und winkelerhaltende Rotation von Punkten, Dreiecken
um die Z-Achse müsste wohl mit Lorentz-Transformationen machbar sein.
Wie sieht es aber mit abstands- und winkelerhaltenden Verschiebung
von Punkten, Dreiecken aus?





Ich fànde es sehr nett, wenn es hier Wissenskundige gibt,
die mir auf die Sprünge helfen können.

Ich freue mich auf Antwort.

Besten Gruß,
Robert
 

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#1 Jens Dittrich
22/01/2008 - 16:22 | Warnen spam
Guten Tag Robert,

Robert Hartmann schrieb:
- Wie sind die Metrik in der Poincaré-Scheibe,
kleinschen Scheibe, im Modell der oberen Halbebene
definiert?



Poincare-Scheibe:

ds^2 = (1-u^2-v^2)^{-2}(du^2 + dv^2)


Poincare-Halbebene:

ds^2 = v^{-2}(du^2 + dv^2)


Kleinsche-Scheibe:

Das Modell war mir selbst noch nicht bekannt. Die große Müllhalde von
nebenan liefert mit den Suchworten

"kleinsches Modell Metrik"

ein Aufgabenblatt aus Stuttgart

http://itp1.uni-stuttgart.de/lehre/...latt01.pdf

Dort steht

ds^2 = du^2 + sinh^2(u) dv^2

Wie funktioniert die Abstandsbestimmung?

- Wie funktioniert die Winkelmessung in der kleinschen Scheibe?
Ist es evtl unsinnig.



Dazu etwas Theorie:

Sei ds^2 = g_{ij} du^i du^j eine Metrik, so definiert für u,v \in IR^2
der Ausdruck

<u,v> = g_{ij} u^i v^j

ein Skalarprodukt. Entsprechend erhàlst du eine Làngen- und Winkelmessung:

||u|| = \sqrt <u,u>, \cos (u,v) = <u,v>/(||u|| ||v||).

Im Gegensatz zum Euklidischen Skalarprodukt hàngen aber Làngen- und
Winkel von der Stelle im Definitionsbereich der Matrixelemente ab.
Vernünftigerweise möchte man deshalb Vektoren u mit gewissen Fußpunkten
identifizieren.

Sinnvoller Weise will man deswegen die Làngen von Tangentialvektoren von
Kurven bzw. deren Winkel betrachten. Sei z = z(t) = (z^1(t), z^2(t))
eine regulàre Kurve im entsprechenden Definitionsbereich, so ist z'(t)
ihr Tangentialvektor im Punkt z(t). In diesem Fall ist das Quadrat der
Lànge des Tangentialvektors in der Metrik gleich

g_{ij}(z(t_0)) z'^i(t_0) z'^j(t_0)

Im Falle des Kleinschen Modells ergibt sich mit z(t) = (x(t), y(t))

(x'(t))^2 + sinh^2(x(t)) (y'(t))^2

für das Quadrat der Lànge des entsprechenden Tangentialvektors (x', y')
im Punkt z(t_0)

Die Winkelmessung funktioniert àhnlich, nur betrachtest du zwei sich
schneidende Kurven bzw. deren Tangentialvektoren, also z_i(t) = (x_i(t),
y_i(t)), i=1,2 mit z_i(t_0) = z_0

x_1'(t_0) x_2'(t_0) + sinh^2 (z_0) y_1'(t_0) y_2'(t_0)


- Ist die Abbildung der hyperbolischen Ebene in die
das Modell der oberen Halbebene winkelerhaltend?
Meine Vermutung ist ja.



Ok, du hast also zwei Metriken und fragst dich, ob diese isometrisch,
d.h. Làngen- und Winkeltreu sind. Bezeichnen wir die Matrixelemente der
einen mit g_{ij}(z) und die der anderen durch G_{kl}(w), wobei z und w
aus den entsprechenden Definitionsbereichen stammen

Beide Metriken sind isometrisch, falls du eine diffeomorphe Abbildung z
= z(w) finden kannst mit der Eigenschaft

(1) G_{kl}(w) = g_{ij}(z(w)) \partial_{w^k} z^i(w) \partial_{w^l} z^j(w)

Gilt für beide Matrixelemente g_{ij} = g \delta_{ij} bzw. G_{kl} = G
\delta_{kl} so impliziert diese Relation

(\partial_{w^1} z^1(w))^2 + (\partial_{w^1} z^2(w))^2 (\partial_{w^2} z^1(w))^2 + (\partial_{w^2} z^2(w))^2

und

\partial_{w^1} z^1(w)\partial_{w^2} z^1(w) +
\partial_{w^1} z^2(w)\partial_{w^2} z^2(w) = 0

bzw.


(\partial_{w^1} z(w) )^2 = (\partial_{w^2} z(w) )^2

und

\partial_{w^1} z(w) \cdot \partial_{w^2} z(w) = 0,

wobei irgendwelche Làngen und Winkel hier euklidische sind.

Aus diesen Gleichungen kannst du unter der Annahme, dass z
positiv-orientiert ist, ableiten, dass für z die Cauchy-Riemann
Gleichungen gelten. Also ist z eine konforme Abbildung.

Worauf ich hinaus will ist, liegen beide Metriken in Diagonalform vor,
so braucht man nur die konformen Abbildungen studieren. Findet man da
eine, für die die Transformationsrelation richtig ist, so weiß man, dass
beide Metriken isometrisch sind.

Es gibt aber noch weitere Einschrànkungen. Man kann zeigen, dass es eine
solche Abbildung nur geben, kann wenn die Metriken die gleich
intrinsische oder Gaußsche Krümmung haben. Die beiden Poincare Modelle
haben beide die Gaußkrümmung -1. Schreibt sich die Metrik in der Form
g_{ij} = g \delta_{ij} so lautet die Gaußkrümmung

-1/g \Delta \log \sqrt g

mit dem Laplace-Operator \Delta.

- Wie finde ich eine passende Möbiustransformation
für Rotation und Translation von Punkten
(eigentlich eines bestimmten hyperbolischen Dreiecks)
in der Poincaré-Scheibe, in der kleinschen Scheibe
und im Modell der oberen Halbebene?



Das verstehe ich leider nicht. Wie soll denn das Bild aussehen? Die
Gruppe der Möbiustransformationen ist eine drei-parametrige Gruppe. Das
bedeutet, du mußt die Bilder dreier Randpunkte und eines inneren Punktes
bestimmen, damit du ein Gebiet geeignet transformieren kannst. Die
Bilder von Kreisen/Geraden sind wieder Kreise/Geraden. Ein gutes
Funktionentheoriebuch sollte dir hier weiterhelfen.


[SCHNIPP]...

Besten Gruß,
Robert



Viele Grüße,
Jens.

Multiple exclamation marks are a sure sign of a diseased mind. (Terry
Pratchett)

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