Hypokrates-Möndchen über Hypothenuse!! Beweis ???

12/05/2011 - 22:13 von Fridolin | Report spam
Man stelle sich das rechtwinklige Dreieck mit den Seiten a,b,c der Höhe
h und den Hypothenusenabschnitten p und q vor (p+q=c). Der Nachweis,
dass die Flàchen der Hypokratesmöndchen über a und b gleich der
Dreiecksflàche ist, ist ja simpel. Die Frage ist jetzt aber folgende: Es
soll bewiesen werden, dass das Möndchen über der Seite a flàchengleich
dem rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten a,p und h ist. In diesem Fall
ist ja "a" die Hypothenuse dieses Dreiecks. Dieser Beweis will mir nicht
gelingen, ich erhalte sehr komplizierte Terme für die Möndchenflàche,
ausgedrückt in h und p, (Wurzelausdrücke, arcsin-Ausdrücke) und muss das
dann mit der Dreiecksflàche h*p/2 gleichsetzen und irgendwie
vereinfachen, was mir nichtgelingt.
Wie kann man das beweisen ? Es gibt wohl einen Satz, dass alle
Flàchen-Formen, über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sofern sie
"àhnlich" sind dem Pythagorassatz entsprechen, z.B. Flàchen
gleichseitiger Dreiecke über a und b entspricht dem entsprechenden
Dreieck über c, usw. Aber gilt dies auch für die Möndchen??

Hoffe, ich habe mich klar genug ausgedrückt, da ich hier keine Zeichnung
machen kann...
Fridolin
 

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#1 Thomas Plehn
12/05/2011 - 22:34 | Warnen spam
Am 12.05.2011 22:13, schrieb Fridolin:
Man stelle sich das rechtwinklige Dreieck mit den Seiten a,b,c der Höhe
h und den Hypothenusenabschnitten p und q vor (p+q=c). Der Nachweis,
dass die Flàchen der Hypokratesmöndchen über a und b gleich der
Dreiecksflàche ist, ist ja simpel. Die Frage ist jetzt aber folgende: Es
soll bewiesen werden, dass das Möndchen über der Seite a flàchengleich
dem rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten a,p und h ist. In diesem Fall
ist ja "a" die Hypothenuse dieses Dreiecks. Dieser Beweis will mir nicht
gelingen, ich erhalte sehr komplizierte Terme für die Möndchenflàche,
ausgedrückt in h und p, (Wurzelausdrücke, arcsin-Ausdrücke) und muss das
dann mit der Dreiecksflàche h*p/2 gleichsetzen und irgendwie
vereinfachen, was mir nichtgelingt.
Wie kann man das beweisen ? Es gibt wohl einen Satz, dass alle
Flàchen-Formen, über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sofern sie
"àhnlich" sind dem Pythagorassatz entsprechen, z.B. Flàchen
gleichseitiger Dreiecke über a und b entspricht dem entsprechenden
Dreieck über c, usw. Aber gilt dies auch für die Möndchen??

Hoffe, ich habe mich klar genug ausgedrückt, da ich hier keine Zeichnung
machen kann...
Fridolin



du musst beweisen, dass gilt:
wenn l die Seitelànge ist, über der das Möndchen liegt,
dann ist die Flàche des Möndchens A proportional zu l^2,
d.h. A = (konstanter Term) * l^2

dann folgt mithilfe von pythagoras direkt die Behauptung

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