Idempotenz von Projektionsoperatoren

24/12/2007 - 14:58 von Daniel | Report spam
Hallo!

Ich nehme an, dass für einen Projetkionsoperator $P_\psi\phi=\lambda
\phi$.
Durch Anwendung von $P_\psi$ von links auf beiden Seiten folgt: $
(\lambda^2-\lambda)\phi=0$
Daraus ergeben sich 2 Eigenwerte $\lambda=0,1$,
Weiters wurde die Idempotenz von $P_\phi$ benützt. Unser Prof. hat nun
in der Vorlesung behauptet, dass nun folgender Schritt nicht erlaubt
ist:

$$P_\psi(P_\psi(P_\psi\phi))=P_\psi\phi => \lambda(\lambda^2-1)\phi=0
=> \lambda=0,\pm 1$$

Wenn ich hier die Idempotenz von $P_\psi$ ist dies doch nicht
irregulàr, da die Idempotenz nur aussagt,
dass das mehrmalige Anwenden einer Funktion also àquivalent mit der
einmaligen Anwendung ist.

Ich hoffe Ihr könnt mir ein kleine Weihnachtsgeschenk machen, und mir
weiter helfen!

Frohes Fest und ein gutes neues Jahr
Mfg Daniel
 

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#1 Alexander Streltsov
24/12/2007 - 15:32 | Warnen spam
Daniel schrieb:
Hallo!

Ich nehme an, dass für einen Projetkionsoperator $P_\psi\phi=\lambda
\phi$.
Durch Anwendung von $P_\psi$ von links auf beiden Seiten folgt: $
(\lambda^2-\lambda)\phi=0$
Daraus ergeben sich 2 Eigenwerte $\lambda=0,1$,
Weiters wurde die Idempotenz von $P_\phi$ benützt. Unser Prof. hat nun
in der Vorlesung behauptet, dass nun folgender Schritt nicht erlaubt
ist:

$$P_\psi(P_\psi(P_\psi\phi))=P_\psi\phi => \lambda(\lambda^2-1)\phi=0
=> \lambda=0,\pm 1$$



Da hat er recht, richtig wàre: P^3 |phi> = P^2 |phi> =>
lambda(lambda^2-lambda)|phi>=0
=> lambda=0, 1

Laut deiner Umformung wàre P^2 = 1, das ist bei allgemeinen Operatoren
falsch.

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