Identität mit Gauss-Wahrscheinlichkeitsdichten

03/01/2008 - 11:28 von Jonas Werres | Report spam
Hallo,
im Rahmen des Black-Scholes-Miracles ist mir folgende Identitàt
untergekommen:
P_G(x_1, T | x_0, 0) \delta(x_2 - x_1)
= P_G(x_1, T | x_0, 0) P_G(x_2, T | x_0, 0) + D \int_0^T dt \int dx P_G(x,
T | x_0, 0) \partial_x P_G(x_1, T | x, t) \partial_x P_G(x_2, T | x, t)

mit P_G(x_1, t_1 | x_0, t_0) = exp(-(x_1 - x_0)^2/(2 D (t_1 - t_0))) /
\sqrt(2 Pi D (t_1 -t_0))

Ich habe Probleme, mir das plausibel zu machen oder es gar zu beweisen.
Geschafft haben wir
- Dimension passt
- Integral über x_1 und x_2 passt (Deltafunktion, durch Wechsel des Difops
\partial_x -> -\partial_x1 durch die Eigenschaften der Gauss-WS)

Bei RHS=0 für x_1 != x_2 hört es allerdings schon auf.

Hat jemand eine Idee oder kann mir einen Literaturtipp geben?

Gruß
 

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#1 roland franzius
03/01/2008 - 13:36 | Warnen spam
Jonas Werres wrote:
Hallo,
im Rahmen des Black-Scholes-Miracles ist mir folgende Identitàt
untergekommen:
P_G(x_1, T | x_0, 0) \delta(x_2 - x_1)
= P_G(x_1, T | x_0, 0) P_G(x_2, T | x_0, 0) + D \int_0^T dt \int dx P_G(x,
T | x_0, 0) \partial_x P_G(x_1, T | x, t) \partial_x P_G(x_2, T | x, t)

mit P_G(x_1, t_1 | x_0, t_0) = exp(-(x_1 - x_0)^2/(2 D (t_1 - t_0))) /
\sqrt(2 Pi D (t_1 -t_0))

Ich habe Probleme, mir das plausibel zu machen oder es gar zu beweisen.
Geschafft haben wir
- Dimension passt
- Integral über x_1 und x_2 passt (Deltafunktion, durch Wechsel des Difops
\partial_x -> -\partial_x1 durch die Eigenschaften der Gauss-WS)

Bei RHS=0 für x_1 != x_2 hört es allerdings schon auf.

Hat jemand eine Idee oder kann mir einen Literaturtipp geben?



Anscheinend entwickelt da jemand einen Kurzzeitlimes s->0 der Gausverteilung

1/Sqrt(4 pi D s) exp(-(x_2-x_1)^2/(4 D s^2)) delta(x_2-x_1) -s \partial_s P_G(x_1,T|x_2,T-s)

und setzt dann die Fokker-Planck-Beziehung für die Startvariablen ein
oder beweist sie gar mit Hilfe von Chapman-Kolmogorov und partieller
Integration.

Ohne den gesamten Gedankengang kannst du solche Fragen kaum vernünftig
an den Mann bringen. Solche Gleichungen gelten meist nur im schwachen
Sinn für Distributionen und sind direkt algebraisch nicht oder
allenfalls ansatzweise heuristisch nachzuvollziehn.


Roland Franzius

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