Im 2. Semester lernten wir mehrdimensionale Funktionen abzuleiten - wer erinnert sich ?

30/10/2012 - 14:32 von Black Rioter | Report spam
Sei eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann ist die Hesse-Matrix von am Punkt definiert durch

Mit werden die zweiten partiellen Ableitungen bezeichnet. Die Hesse-Matrix entspricht dem Transponierten der Ableitung des Gradienten, ist aber bei stetigen zweiten Ableitungen wegen der Vertauschbarkeit der Differentiationsreihenfolge symmetrisch,[1] so dass das Transponieren der Matrix keine Änderung bewirkt.

Extremwerte

Mit Hilfe der Hesse-Matrix làsst sich der Charakter der kritischen Punkte einer Abbildung in bestimmen. Dazu bestimmt man für die zuvor ermittelten kritischen Punkte die Definitheit der Hesse-Matrix.
Ist die Matrix an einer Stelle positiv definit, so befindet sich an diesem Punkt ein lokales Minimum der Funktion.
Ist die Hesse-Matrix dort negativ definit, so handelt es sich um ein lokales Maximum.
Ist sie indefinit, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt der Funktion.

Falls die Hesse-Matrix an der untersuchten Stelle nur semidefinit ist, so versagt dieses Kriterium und der Charakter des kritischen Punktes muss auf anderem Wege ermittelt werden. Welcher dieser Fàlle vorliegt, kann – wie unter Definitheit beschrieben – zum Beispiel mit Hilfe der Vorzeichen der Eigenwerte der Matrix oder ihrer Hauptminoren entschieden werden.

Beispiel: Die Funktion hat in einen kritischen Punkt, aber ist weder positiv noch negativ definit. Die Funktion hat in diesem Punkt kein Extremum, sondern einen Sattelpunkt, indem sich zwei Höhenlinien schneiden.

Konvexitàt

Es besteht zudem ein Zusammenhang zwischen der positiven Definitheit der Hesse-Matrix und der Konvexitàt einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion , die auf einer offenen, konvexen Menge definiert ist: Eine solche Funktion ist genau dann konvex, wenn ihre Hesse-Matrix überall in positiv semidefinit ist. Ist die Hesse-Matrix sogar positiv definit in , dann ist die Funktion auf strikt konvex. Entsprechend gilt: Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist auf ihrer konvexen Definitionsmenge genau dann konkav, wenn ihre Hesse-Matrix negativ semidefinit ist. Ist die Hessematrix sogar negativ definit auf , so ist f auf D strikt konkav.

Ist f auf ihrer Definitionsmenge D strikt konvex, so besitzt f höchstens ein globales Minimum auf D. Jedes lokale Minimum ist zugleich das (einzige) globale Minimum. Ist f strikt konkav, so besitzt f höchstens ein globales Maximum. Jedes lokale Maximum ist zugleich ihr (einziges) globales Maximum.

###############################################################################

Bernd Funke schreibt etwa :


Moin!

Entwickle ich eine Funktion von n reellen Variablen f(x_1,...,x_n) in eine
Taylor-Reihe, so liefert mir ihre Hesse-Matrix H (insbesondere deren
Eigenwerte) an Stellen, wo der Gradient G von f verschwindet, Informationen
über das Aussehen der Umgebung dieses kritischen Punktes. So weit, so gut.


Verschwindet an einer Stelle der Gradient G nicht, so kann ich dort den
Unterraum der zu ihm orthogonalen Vektoren betrachten und eine
Orthonormal-Basis y1,...,y_n-1 für ihn konstruieren und damit
g(y1,...,y_n-1)=f(x1(y1,...,y_n-1),...,x_n(y1,...,y_n-1)) definieren (die
x_i hàngen dabei von den y_i nur linear ab, klar). Bilde ich davon wieder
die Hesse-Matrix H' und deren Eigenwerte, so erhalte ich mit Letzteren
Informationen über das Aussehen der Umgebung von f "quer zum Gradienten",
die obendrein unabhàngig von der speziellen Wahl der Basis y_i sind.


Nun meine Frage: Gibt's einen bekannten, einfachen Weg, um von der
Hessematrix H und dem Gradienten G an die Eigenwerte der "reduzierten"
Hesse-Matrix H' zu kommen? Oder muss ich tatsàchlich eine konkrete Basis y_i
konstruieren? Gefunden habe ich bisher nur die "gerànderte Hesse-Matrix",
die liefert immerhin das Vorzeichen des Produktes der Eigenwerte von H',
aber das ist mir etwas zu wenig.


Wenn jemand was weiß... danke.


Tschö
Bernd
 

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#1 AGUIRRE
01/11/2012 - 17:37 | Warnen spam
Am Dienstag, 30. Oktober 2012 14:32:17 UTC+1 schrieb Black Rioter:
Sei eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann ist die Hesse-Matrix von am Punkt definiert durch



Mit werden die zweiten partiellen Ableitungen bezeichnet. Die Hesse-Matrix entspricht dem Transponierten der Ableitung des Gradienten, ist aber bei stetigen zweiten Ableitungen wegen der Vertauschbarkeit der Differentiationsreihenfolge symmetrisch,[1] so dass das Transponieren der Matrix keine Änderung bewirkt.



Extremwerte



Mit Hilfe der Hesse-Matrix làsst sich der Charakter der kritischen Punkte einer Abbildung in bestimmen. Dazu bestimmt man für die zuvor ermittelten kritischen Punkte die Definitheit der Hesse-Matrix.

Ist die Matrix an einer Stelle positiv definit, so befindet sich an diesem Punkt ein lokales Minimum der Funktion.

Ist die Hesse-Matrix dort negativ definit, so handelt es sich um ein lokales Maximum.

Ist sie indefinit, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt der Funktion.



Falls die Hesse-Matrix an der untersuchten Stelle nur semidefinit ist, so versagt dieses Kriterium und der Charakter des kritischen Punktes muss auf anderem Wege ermittelt werden. Welcher dieser Fàlle vorliegt, kann – wie unter Definitheit beschrieben – zum Beispiel mit Hilfe der Vorzeichen der Eigenwerte der Matrix oder ihrer Hauptminoren entschieden werden.



Beispiel: Die Funktion hat in einen kritischen Punkt, aber ist weder positiv noch negativ definit. Die Funktion hat in diesem Punkt kein Extremum, sondern einen Sattelpunkt, indem sich zwei Höhenlinien schneiden.



Konvexitàt



Es besteht zudem ein Zusammenhang zwischen der positiven Definitheit der Hesse-Matrix und der Konvexitàt einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion , die auf einer offenen, konvexen Menge definiert ist: Eine solche Funktion ist genau dann konvex, wenn ihre Hesse-Matrix überall in positiv semidefinit ist. Ist die Hesse-Matrix sogar positiv definit in , dann ist die Funktion auf strikt konvex. Entsprechend gilt: Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion ist auf ihrer konvexen Definitionsmenge genau dann konkav, wenn ihre Hesse-Matrix negativ semidefinit ist. Ist die Hessematrix sogar negativ definit auf , so ist f auf D strikt konkav.



Ist f auf ihrer Definitionsmenge D strikt konvex, so besitzt f höchstens ein globales Minimum auf D. Jedes lokale Minimum ist zugleich das (einzige) globale Minimum. Ist f strikt konkav, so besitzt f höchstens ein globales Maximum. Jedes lokale Maximum ist zugleich ihr (einziges) globales Maximum.



Mann PUSSY CAT sowas heutzutage im KINDERGARTEN oder spàtestens
in der Vorschule.
Denn die Kinder von Genies sollen ja mal besser als Einstein sein.
Also PUSSY CAT lehre deine Brut frühzeitig.
Asi es la vida!
Aguirre



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Bernd Funke schreibt etwa :





Moin!



Entwickle ich eine Funktion von n reellen Variablen f(x_1,...,x_n) in eine

Taylor-Reihe, so liefert mir ihre Hesse-Matrix H (insbesondere deren

Eigenwerte) an Stellen, wo der Gradient G von f verschwindet, Informationen

über das Aussehen der Umgebung dieses kritischen Punktes. So weit, so gut.





Verschwindet an einer Stelle der Gradient G nicht, so kann ich dort den

Unterraum der zu ihm orthogonalen Vektoren betrachten und eine

Orthonormal-Basis y1,...,y_n-1 für ihn konstruieren und damit

g(y1,...,y_n-1)=f(x1(y1,...,y_n-1),...,x_n(y1,...,y_n-1)) definieren (die

x_i hàngen dabei von den y_i nur linear ab, klar). Bilde ich davon wieder

die Hesse-Matrix H' und deren Eigenwerte, so erhalte ich mit Letzteren

Informationen über das Aussehen der Umgebung von f "quer zum Gradienten",

die obendrein unabhàngig von der speziellen Wahl der Basis y_i sind.





Nun meine Frage: Gibt's einen bekannten, einfachen Weg, um von der

Hessematrix H und dem Gradienten G an die Eigenwerte der "reduzierten"

Hesse-Matrix H' zu kommen? Oder muss ich tatsàchlich eine konkrete Basis y_i

konstruieren? Gefunden habe ich bisher nur die "gerànderte Hesse-Matrix",

die liefert immerhin das Vorzeichen des Produktes der Eigenwerte von H',

aber das ist mir etwas zu wenig.





Wenn jemand was weiß... danke.





Tschö

Bernd

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