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26/09/2013 - 23:02 von Atomgetriebener Eisbrecher | Report spam
Laplace Experiment / Versuch

Geschrieben von: Dennis Rudolph



Sonntag, 11. Oktober 2009 um 22:42 Uhr




Mit dem Laplace Experiment bzw. dem Laplace Versuch befassen wir uns in diesem Artikel. Dabei erklàren wir euch, was man überhaupt unter einem Laplace Experiment / Versuch versteht und wie man Rechnungen bei diesem ausführt. Dieser Artikel gehört zum Bereich Mathematik.





Klàren wir zunàchst den Begriff Zufallsexperiment: Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ergebnisse möglich sind und bei dem man vor Ablauf des Vorgangs das Ergebnis nicht vorhersehen kann. Beispiel: Ein Würfel wird geworfen. Auf welcher Seite er landet, ist vor Abwurf des Würfels aus der Hand nicht zu sagen.



Unter einem Laplace Experiment versteht man ein Zufallsexperiment, bei dem alle Möglichkeiten des Versuchsausgangs die gleiche Wahrscheinlichkeit aufweisen. Man spricht hier oftmals von "gleichwahrscheinlich".



Laplace Experiment: Beispiele


Woran erkennt man nun, ob es sich um einen Laplace Versuch handelt oder nicht? Die Frage ist oftmals nicht ganz so einfach zu beantworten und erfordert in vielen Fàllen Vorkenntnisse auf dem entsprechenden Gebiet. Es folgen ein paar Beispiele:
•Ein normaler Würfel hat sechs Seiten. Sofern an dem Würfel nichts manipuliert wurde, ist die Wahrscheinlichkeit die Zahl 1 zu Würfeln genauso groß, wie die Wahrscheinlichkeit die Zahl 6 zu Würfeln. Es handelt sich somit um ein Laplace Experiment / Versuch.
•Eine Münze hat zwei Seiten: Kopf und Zahl. Bei einer nicht manipulierten Münze ist die Wahrscheinlichkeit "Zahl" zu werfen genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit "Wappen" zu werfen. Somit handelt es sich um einen Laplace Versuch.
•Bei einem Pferderennen treten 10 Reiter samt Pferde gegeneinander an. Da sich die Fàhigkeiten der Teilnehmer voneinander unterschieden, ist die Chance auf einen Sieg bei jedem Teilnehmer verschieden. Somit haben wir kein Laplace Experiment.



An solche Aufgaben muss man Versuchen mit etwas gesunden Menschenverstand ran zu gehen. Hat man keinen Grund, das Eintreten irgendeines der Ergebnisse eines Zufallsexperiments für wahrscheinlicher als das der anderen Ergebnisse zu halten, so kann man erst einmal von einem Laplace Versuch ausgehen.





Berechnung von Laplace Versuchen

Durch Einsatz der Laplace Regel kann man nun die Wahrscheinlichkeit für ein Laplace Experiment berechnen. Die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ergebnisses berechnet sich nach der folgenden Formel:







Beispiel:

Wir werfen einen sechsseitigen Würfel und möchten verschiedene Wahrscheinlichkeiten bei dem Versuch berechnen:
1.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Zahl 3 zu Würfeln?
2.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, entweder eine 1 oder 4 zu Würfeln?
3.Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu Würfeln?



Lösung:

Wir wissen, dass der Würfel sechs gleiche Seiten hat. Somit können als Ergebnis beim Würfeln die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 geworfen werden. Die Anzahl der möglichen Ergebnisse betràgt somit "6". Kommen wir nun zu den drei Teilaufgaben:
1.P({3}) = 1 : 6 = 0,1666...
2.P({1, 4}) = 2 : 6 = 0,33333...
3.P({2, 4, 6}) = 3 : 6 = 0,5
 

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#1 Atomgetriebener Eisbrecher
26/09/2013 - 23:09 | Warnen spam
Der bedingte Erwartungswert beschreibt in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik den Erwartungswert einer Zufallsvariablen unter der Voraussetzung, dass noch zusàtzliche Informationen über den Ausgang des zugrunde liegenden Zufallsexperiments verfügbar sind. Dabei kann die Bedingung beispielsweise darin bestehen, dass bekannt ist, ob ein gewisses Ereignis eingetreten ist oder welche Werte eine weitere Zufallsvariable angenommen hat; abstrakt kann die Zusatzinformation als Unterraum des zugrunde liegenden Ereignisraums aufgefasst werden.

Bedingte Erwartungswerte spielen eine wichtige Rolle in der modernen Stochastik, beispielsweise bei der Untersuchung stochastischer Prozesse, und werden unter anderem bei der Definition von Martingalen verwendet.

Die Problematik ergibt sich aus folgender Überlegung: Die angegebenen Gleichungen gehen davon aus, dass für jeden einzelnen Wert von standardnormalverteilt ist. Tatsàchlich könnte man aber auch annehmen, dass im Fall konstant den Wert hat und nur in den übrigen Fàllen standardnormalverteilt ist: Da das Ereignis die Wahrscheinlichkeit hat, wàren und insgesamt immer noch unabhàngig und standardnormalverteilt. Man erhielte aber statt . Das zeigt, dass der bedingte Erwartungswert nicht eindeutig festgelegt ist, und dass es nur sinnvoll ist, den bedingten Erwartungswert für alle Werte von simultan zu definieren, da man ihn für einzelne Werte beliebig abàndern kann.

Der Ansatz von Kolmogorow

Nachdem sich die elementare Definition nicht auf den allgemeinen Fall übertragen làsst, stellt sich die Frage, welche Eigenschaften man beibehalten möchte und auf welche man zu verzichten bereit ist. Der heute allgemein übliche Ansatz, der auf Kolmogorow (1933) zurückgeht und der sich insbesondere in der Theorie der stochastischen Prozesse als nützlich erwiesen hat, verlangt nur zwei Eigenschaften.

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