image eines kompakten Operators

20/11/2008 - 19:54 von Philipp Varso | Report spam
hallo ngler,

ich habe folgende Probleme beim Beweis eines Satz aus der
Funktionalanalysis; und zwar geht es darum zu zeigen, dass das
image(T-lambda*id) abgeschlossen ist, wobei T kompakter Operator
definiert auf einem Hilbertraum und lambda aus den kompl. Zahlen und
ungleich Null ist. Dazu nehmen wir an, dass eine Folge psi_n, deren
Folgeglieder gànzlich im image(T-lambda*id) liegen, gegen ein Element
psi aus dieser Menge konvergiert. Nun sagt man weiter;
psi_n=(T-lambda*id)*phi_n(prime) mit phi_n(prime) ist Element aus dem
Hilbertraum.

Nun kommt mein Problem; unser Professor meinte "Da es bei phi_n(prime)
nicht auf Anteile aus Ker(T-lambda*id) ankommt, betrachten wir
stattdessen phi_n:= Projektor von phi_n(prime) auf das orthogonale
Komplement von Ker(T-lambda*id)."

Warum kommt es auf diese Elemente nicht an? Wenn ich also im Bildraum
von (T-lambda*id) eine Folge dieser Art vorliegen hàtte: psi_1, psi_2,
Nullvektor, Nullvektor,...
dann kann ich doch nicht einfach alle Nullelemente streichen. Diese
Folge würde doch dann nicht mehr konvergieren. Oder wenn mein kernel
unendlichdim. ist, wie soll
dann irgendetwas konv. nachdem ich diese Elemente vernachlàssigt habe.

Wer weiß Rat und kann mir hierbei helfen.

Vielen Dank

- Philipp
 

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#1 Martin Vaeth
20/11/2008 - 20:25 | Warnen spam
Philipp Varso schrieb:

ich habe folgende Probleme beim Beweis eines Satz aus der
Funktionalanalysis; und zwar geht es darum zu zeigen, dass das
image(T-lambda*id) abgeschlossen ist, wobei T kompakter Operator
definiert auf einem Hilbertraum und lambda aus den kompl. Zahlen und
ungleich Null ist.



Mit "Hilbertraum" hat das nichts zu tun. Das gilt in jedem Banachraum.
Dann darf man aber natürlich im folgenden Schritt nicht mit
Projektionen argumentieren, sondern muss im Beweis entweder mit
Quotientenràumen arbeiten oder sauber den Nullraum approximieren,
was sich der Professor vermutlich beides ersparen wollte :)

psi_n=(T-lambda*id)*phi_n(prime) mit phi_n(prime) ist Element aus dem
Hilbertraum.

Nun kommt mein Problem; unser Professor meinte "Da es bei phi_n(prime)
nicht auf Anteile aus Ker(T-lambda*id) ankommt, betrachten wir
stattdessen phi_n:= Projektor von phi_n(prime) auf das orthogonale
Komplement von Ker(T-lambda*id)."



Der Professor meinte damit offensichtlich: Wenn man zu phi_n(prime)
ein Element aus dem Ker(T-lambda*id) addiert, erfüllt dieses neue
Element phi_n ebenfalls die gewünschte Beziehung psi_n=(T-lambda*id)*phi_n
(denn die Wahl von phi_n(prime) was in gewissem Sinne willkürlich).
Da phi_n(prime) sich als Summe aus einem Element aus Ker(T-lambda*id)
und dessen orthogonalen Komplement schreiben làsst, etwa
phi_n(prime) = u_n + v_n, kann man also einfach
phi_n := phi_n(prime) - u_n (= v_n in der obigen Darstellung)
wàhlen: Dieses phi_n erfüllt dann eben gewünschte Beziehung
psi_n=(T-lambda*id)*phi_n und liegt aber tatsàchlich im orthogonalen
Komplement von Ker(T-lambda*id).
Mit anderen Worten: Diese Argumentation zeigt, dass man o.B.d.A.
von vornherein hàtte annehmen können, dass phi_n(prime) in diesem
orthogonalen Komplement liegt.

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